Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
с проекциями р, q, г на подвижные оси, причем
4 dt dt dt
( da. d$ . d-( \
При помощи этих формул сразу находим:
Рассмотрим точку Vr (рис. 50), имеющую в подвижных осях коор-
е. координаты конца вектора OVr
с началом в точке О, равного и параллельного относительной скорости Vr. Тогда проекции У на оси х, у, г равны удвоенным проекциям скорости, которую будет иметь эта точка Vr, если угол (oOVr, предполагаемый неизменяемым, будет вращаться с угловой скоростью ш вокруг Ош, как вокруг неподвижной оси. Следовательно, вектор У по величине и направлению равен удвоенной этой скорости, т. е. удвоенному моменту вектора ш относительно точки Vr. Этот вектор приложен в точке М. Более подробно его можно определить так: вектор У перпендикулярен плоскости ^OVr мгновенной оси и относительной скорости; он равен по величине ГЛАВА II. КИНЕМАТИКА
81
удвоенному произведению ш на расстояние от точки Vr до оси Ош, т. е. 2u)Vrsin((D, Vr); наконец, он направлен по отношению к плоскости UiOVr в ту сторону, куда мгновенное вращение ш стремится повернуть конец Vr вектора 0V'r, параллельного относительной скорости. Итак, имеем;
(Va) = (Vr) + (Ve), (Ja) = (Jr) + (Je) + (/).
Вектор У обращается в нуль, если один из трех множителей: <и, или Vr, или sin (ш, Vr) — обращается в нуль. Наиболее важными являются следующие случаи.
60. Поступательное движение подвижных осей. Сложение движений. Если (и все время равно нулю, то и добавочное ускорение будет все время равно нулю. Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы подвижные оси перемещались поступательно. Абсолютное ускорение Ja будет тогда результирующим вектором относительного ускорения Jr и переносного ускорения Je.
Этот частный случай относительного движения носит название сложения движений. Для определения поступательного движения подвижных осей, которые можно тогда предполагать ^y параллельными неподвижным осям Рис. 51.
(рис. 51), достаточно определить движение одной точки О подвижной системы отсчета, что может быть сделано заданием изменения вектора O1O в функции времени. Относительное движение точки M определяется изменением вектора ОМ. Абсолютное движение точки М, определяемое изменением результирующего вектора O1Af, называется результирующим двух первых движений. Согласно предыдущему скорость и ускорение в этом движении равны геометрическим суммам скоростей и ускорений составляющих движений.
61. Общие формулы для скорости и ускорения точки, отнесенной к подвижным осям. Допустим, что подвижный триэдр Oxyz совершает известное движение. Обозначим, как и выше, через V?, V0y, V0z проекции абсолютной скорости V0 начала О на подвижные оси, а через р, q, г—компоненты мгновенного вращения триэдра Oxyz относительно тех же осей.
Скорость. Рассмотрим точку М, имеющую относительно осей Oxyz координаты х, у, г. Относительная скорость Vr точки M относительно триэдра имеет на подвижные оси проекции
dx dy dz ... .
0.,
У, 82
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
а переносная скорость той же точки имеет проекции (п. 51)
V0x +qz — Г у, Vy-\-rx—рг, V°z+py — qx. (Ve)
Абсолютная скорость Va этой же точки, равная геометрической сумме скоростей Vr и Ve, имеет проекции
H Y
Vax = ^f+V°x + qz —гу,
V,
ау-
Vn
If + vt + rx-pz. % + V%+py-qx.
(3)
Ускорение. Для получения проекций абсолютного ускорения точки M на оси Oxyz достаточно обратиться к определению ускорения при помощи годографа (п. 41). Через некоторую неподвижную точку А проведем три оси Axl, Ayl, Azl, параллельные осям Од;, Oy, Oz, и отрезок Am, равный и параллельный абсолютной скорости Va точки М. Искомое ускорение Ja равно и параллельно абсолютной скорости точки tn. Но эта точка т. имеет относительно осей Ax^ylZl координаты
Vn
У і = V1
ау
Vn
(т)
Скорость начала А равна нулю и мгновенное вращение триэдра Ax^lZl совпадает с мгновенным вращением параллельного триэдра Oxyz. Следовательно, проекции на Ax^lZl или Oxyz абсолютной скорости точки т., согласно формулам, аналогичным (3), равны
dxi і
-J-^qzl-Tyl,... Поэтому для проекций абсолютного ускорения Ja имеем:
dVa
dt
dV,
ay
Jay -
dt dV„,
Эти формулы Кориолиса.
dt
позволяют
-QVaz-TVay,
- rVах pVaz -pVay-qV ах другим путем
(4)
доказать теорему
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти траекторию движущейся точки, зная, что она плоская и что касательная и нормальная составляющие ускорения постоянны.
Ответ. Отсчитывая время от надлежащим образом выбранного момента и дугу S траектории от надлежащим образом выбранного начала, найдем
^ V2 и 4а
S — at2, — =Ь, о = S,
P Ь ГЛАВА II. КИНЕМАТИКА
83
где р — радиус кривизны, а и b — постоянные. Траектория — логарифмическая спираль.
2. Плоское движение определено двумя уравнениями, выражающими полярные координаты гиб движущейся точки в функции времени. Требуется найти либо непосредственно, либо при помощи теории относительного движения компоненты скорости и ускорения по радиусу-вектору и по перпендикуляру к нему.
