Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
77
также катятся одна по другой, что вытекает из того, что скорость V1 совпадает со скоростью V. Мгновенное вращение Aa может быть разложено на два: одно Ач>п, нормальное к обеим поверхностям и называющееся угловой скоростью верченая, и другое Aat, лежащее в касательной плоскости и являющееся угловой скоростью качения. Когда движение таково, что скорость верчения Wjt равна постоянно нулю, то движение S по Si есть качение.
IV. Ускорения. Теорема Кориолиса
58. Распределение ускорений в движущемся твердом теле.
В общем случае проекции скорости точки M тела на неподвижные оси равны:
dxx ,
-L = a + q,zt — rxyv
^f = Ь + rvX1 —p,zv dz\ .
-Jf=C-lTPiyi-QiXi,
где a, b, с обозначают величины V^1 — гху0 и т. д. Диффе-
ренцируя по t, получим формулы для проекций ускорения на неподвижные оси:
d"'xx _da . dzx Ay1 , dqx drx
~d?~ dt ~dt ^ЧГ^^ЧГ y^dt'---
Заменяя первые производные ^^, ... их значениями и полагая Р\ + + r\ = ш2> найдем
^Ж ^ Ж + W — r^b + А + giyi + r^ ~
dqi „ drx
О I "<7i "М
-^X1 +Z1^f-УіЖ.
d2 Уі
Переставляя буквы, получим выражения других проекций и
A^z1
-jjjg- ускорения на неподвижные оси.
59. Ускорение в относительном движении. Теорема Кориолиса. Выше (п. 45) мы изложили очень важную теорему, устанавливающую связь между абсолютной скоростью движущейся точки и ее относительной скоростью относительно некоторой системы (5), совершающей известное движение. 78
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
Мы ставим себе задачей доказать такого же рода теорему, связывающую между собой абсолютное, и относительное ускорения. Мы будем пользоваться аналитическим методом, который даст также и теорему о скоростях, доказанную ранее геометрически.
Для определения движения системы отсчета (S), относительно которой изучается относительное движение, введем три подвижные оси Oxyz, неразрывно связанные с (S)1 и зададим их движение так же, как мы это делали в п. 51. Пусть M — движущаяся точка. Так как она движется и в системе (S) и в пространстве, то ее координаты X, у, Z относительно подвижных осей и ее абсолютные координаты X1, уи Z1 будут функциями времени. Эти координаты связаны формулами
X1 = X0-sT ах +.?^ + O2Z, 1
.Vi = Jfo+ P* +PuV+ 02«. (О
2l = 20+ T* +Tl-V+4^- J
Точка M имеет абсолютную скорость и абсолютное ускорение, проекции которых на неподвижные оси равны
проекции
dxx dy1 azt
~df' dt ' dt '
d"-Xl d"-y, d"-z,
dt"- » dt"- ' dt"- -
скорость и ускорение
dx dy dz
4t' dt ' dt
d"-x d"-y d"-z
dt"- ' dt"-
(V0) Ш
оси
(Vf) Ur)
а на неподвижные оси-
- проекции
dy dt dy dt
dx dy .
a — + !X1 ^7+ a;
dz
2 dt '
dt
VW^W^V* dt> T dt ^ Tl dt. ^ ?2
+Pl %+P2 *
dt
dt '
d"-x d"-y d-z a dt"- dt* +a2 dfl'
P df- dfl ^2 dt"- '
d"x . d? у d"-z
T df- dt2 + "^2 dt*
(Vr)
Ш ГЛАВА II. КИНЕМАТИКА
79
Точка M имеет также переносные скорость и ускорение, проекции которых на неподвижные оси равны
dxO I da da 1 da2
-JT + xdt+y4t+z-dt'
аУ» _L Г -U V^L-L-A dt dt dt dt '
dZo I „ dI I v dl\ I .
4t+xdt +y ~dl + z4t>
^O I ,.rf2gI ¦ ,d4g
' rf^ ' ^ ' dt* '
*?Уо _L ^ _L V^Pl I л rf^ Л3 df1 ' '
?fo і j^L і і
dt* ^ dt9-^ y dt"- ^ dfi '
(Ve)
Эти формулы получаются, если рассматривать х, у, г как постоянные, так как переносными скоростью и ускорением точки M называются скорость и ускорение, которые имела бы эта точка, если бы она была неизменно связана с подвижными осями.
Дифференцируя формулы (1) по t, мы получим аналитическое выражение теоремы, доказанной ранее (п. 45): абсолютная скорость равна геометрической сумме относительной скорости и переносной скорости.
После второго дифференцирования формул (1) получим
d'-x.
dtг
d*x
I?
d"-y
-I " ./ I , je,
1 a ^ + ai rfF + a2 Ж J + I ~dt>-
(d*-x n
d'li . d'la, . d 'i-> \ .
xW + y4F + zlut) +
I „ Ida dx . dat dy , da2 dz
' Ydt ~~dt '
dt dt
dt dt)
(2)
и две аналогичные формулы для вторых производных величин J1 И Zv Для уяснения смысла этих равенств рассмотрим вектор J', имеющий начало ^ точке M и следующие проекции на неподвижные оси:
_ п (da dx I ^a1 dy . daz dz\ 1
WW^ ~dr~di~^~dF II)'
/ (dldx^ d?i dy d^dz\ { 2/1 — dt dt dt^~ dt dt)'
Ґ = Q л-
z> \dt dt ^r dt dt ' dt dt )'
Этот вектор называется добавочным ускорением. Уравнения (2) показывают, что проекция вектора Ja на каждую из неподвижных осей равна сумме проекций Jr, Je и J' на ту же ось, т. е. что вектор Ja есть геометрическая сумма векторов Jr, Je и J'. 80
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
Следовательно, абсолютное ускорение есть результирующая относительного ускорения, переносного ускорения и добавочного ускорения.
Остается найти простое истолкование вектора У. С этой целью найдем проекции /х, J', У вектора У на подвижные оси. Очевидно, имеем
=
Система отсчета (S), относительно которой рассматривается относительное движение, представляет собой движущееся твердое тело или неизменяемую систему. На основании полученных ранее результатов мы знаем, что скорости ее различных точек в рассматриваемый момент будут такими же, как если бы эта система совершала поступательное движение и мгновенное вращение ш
