Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Vx = V°x + qz — ry,
(основные формулы)
Vy=V0y+ rx—pz, Vz =Vz + ру — qx,
где V0x, Vl, Vz обозначают проекции скорости V0 точки О на по-
V
движные оси:
/0 „ dx0 , „ dyо . dz0 72
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
Эти формулы имеют простой смысл. Они показывают, что скорость V каждой точки M твердого тела есть геометрическая сумма двух векторов: вектора V01 общего для всех точек М, равного и параллельного скорости точки О, и вектора и, изменяющегося с положением точки M и имеющего проекции qz — ry, rx—pz,py— qx на подвижные оси. Вектор V0 есть скорость, которую имела бы точка М, если бы тело совершало поступательное движение со скоростью V0. Вектор и есть скорость, которую имела бы та же точка, если бы тело совершало вращение Ош, имеющее проекции р, q, г на подвижные оси. Это вращение называется мгновенным вращением. Полученный результат выражают, говоря, что скорость произвольной точки тела есть результирующая скорости поступательного движения, равной скорости какой-нибудь точки О тела, и скорости вращения вокруг некоторой оси, проходящей через О.
Полученные формулы являются основными для кинематики. Когда движение твердого тела дано, то шесть величин V0x, Vy, V0z, р, q, г являются известными функциями времени. Наоборот, если эти величины даны в функции времени, то можно найти движение триэдра. (См. Darboux, Legons de ОёошёМе, т. I, гл. II; Koenigs, Le-gons de Cin6matiques, стр. 119.)
Компоненты скорости по неподвижным осям легко выводятся из полученного результата. Прежде всего, для проекций V0 на неподвижные оси имеем
dx_о dyо d?o dt' dt' dt '
Далее, обозначая через pv qv r1 проекции мгновенного вращения Ош на неподвижные оси и пользуясь формулами вращения (п. 44), получим следующее выражение для проекции вектора и на ось Ох1:
<Ji (Zl-Z0)-T1 (Уі — УО). Следовательно, проекция скорости V на Ox1 будет
^ = ? =^f + ?i(*i— Zo) — r1(y1 — у0).
Два аналогичных выражения получаются для Vyi и V2i.
52. Мгновенная винтовая ось. Касательное винтовое движение. Значения скоростей различных точек твердого тела таковы, как если бы тело совершало либо одно вращательное Oiо и одно поступательное движение OV0, либо три одновременных вращения: вращение Ош и два вращения ш° и —ш°, образующих пару с вектором моментом OV0. Согласно правилу, установленному в теории сложения вращений, это распределение скоростей будет в то же время таким, как если бы тело совершало одно винтовое движение вокруг центральной оси системы вектора ш, ш°, —ш°. Уравнения этой центральной оси получатся, если искать геометри- ГЛАВА II. КИНЕМАТИКА
73
ческое место точек, для которых скорость параллельна направлению мгновенного вращения ш (рис. 47). Таким путем для центральной винтовой оси получатся в подвижной системе координат уравнения
VZ + qz-ry V° + rx-pz V° + py-qx ----=----(D)
и в неподвижной системе — уравнения
^f+ Я 1 — 20) — гі(Уі — Уо)
~ Jl
ay о dt
+ Гі (jc1 — х0) —Pl (Z1 — Z0)
Яі
Общее значение всех этих отношений есть
dxn , dya
(D1)
„ ахй ауй . dz0
<g_PK + ЧУ°у + /-V0g _ А ЧГ + ~dt +Гі dt jfl + p + r* Pl+q2i + r't
где g — скорость скольжения, которая принимается положительной в направлении ш.
Отдельные частные случаи, которые могут представиться, будут следующие: если / равно нулю, то скорость скольжения обращается
Рис. 47.
(О
О'
tJf
О
Uf
У
Рис. 48.
в нуль, а если / равно бесконечности, то угловая скорость равна нулю.
Определяемое таким образом винтовое движение называется касательным к действительному движению в момент t, так как распределение скоростей в обоих движениях будет одинаковым. Однако это не будет справедливым для ускорений.
53. Величина скорости точки тела. Рассмотрим точку M (рис. 48) тела, расположенную на расстоянии 8 от мгновенной винтовой оси DD'. Скорость, вызванная вращением, есть вектор MU, перпендикулярный плоскости MDD' и равный шб; скорость, вызванная поступательным движением, 74
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
есть вектор Mg, равный н параллельный g. Результирующая скорость V находится, следовательно, в плоскости, перпендикулярной к 8 и определяется формулами
У2=и282 + ?2( tg VMg = ~ .
Если точка M находится на оси DD', то ее скорость равна g и направлена вдоль оси. Когда точка M описывает прямую 8, перпендикулярную к DD', скорость V образует гиперболический параболоид. Эти предложения позволяют получить в простой форме распределение главных моментов вокруг центральной оси произвольной системы векторов, причем (o является главным моментом этой системы, a g—минимальной парой (п. 17).
54. Непрерывное движение. Геометрическое место мгновенных винтовых осей в теле есть некоторая линейчатая поверхность S, уравнение которой может быть получено путем исключения t иа уравнений (D) этих осей в подвижной системе координат. Геометрическое место тех же осей в абсолютном пространстве, т. е. относительно неподвижной системы координат, представляет собой другую линейчатую поверхность, уравнение которой получается из уравнений (D1). В произвольный момент времени обе эти поверхности имеют общую образующую, которая является мгновенной винтовой осью для этого момента. Более того, они касаются друг друга вдоль этой образующей. В самом деле, вообразим некоторую точку М, описывающую на неподвижной поверхности S1 произвольную кривую таким образом, что в каждый момент времени t она находится на мгновенной оси, являющейся для этого момента общей образующей. Эта же точка описывает относительно движущегося тела некоторую кривую, расположенную на связанной с телом подвижной поверхности S. В момент t абсолютная скорость Va этой точки M касается в M поверхности S1, а ее относительная скорость Vr относительно тела касается в M поверхности S. Наконец, переносная скорость Ve. возникающая вследствие движения тела, направлена вдоль общей образующей МО, так как все точки тела, принадлежащие этой образующей, являющейся мгновенной винтовой осью, только скользят вдоль нее. Так как вектор Va есть геометрическая сумма векторов Vr и Ve, то все эти три вектора лежат в одной плоскости. Плоскость Va и Ve, т. е. плоскость Va и MG, касается поверхности S1; плоскость Vr и Ve, т. е. плоскость Vr и MG, касается поверхности S. Так как обе эти плоскости совпадают, то поверхности S а S1 касаются друг друга в точке М. Но эта точка взята на образующей произвольно. Следовательно, поверхности S и S1 касаются вдоль всей образующей.
