Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
dt dt' dP dt' dt'2
и первое уравнение примет вид
d°-x _ 1 dU , X df dt'2 k'H'2 дх ' k'4'2 дх'
Два других уравнения преобразуются аналогичным образом. Следовательно, если положить
U' (х, у, г, t') = U(х, у, г, t), ^=-I72 k4'2 W2
и
t=—)-\nt', k
то уравнения примут вид
dt'2 дх ' дх
d°'x-dU' (2)глава xv. ПРИнЦиП ДАЛАМБера нАИМенЬШЕГО ДЕЙСТВия 505
т. е. обратятся в уравнения движения точки •без сопротивления среди на поверхности f{x, у, z,--In t= 0. К этому последнему движению можно
применить методы Пуассона, Гамильтона и Якоби. После того, как будут найдены в конечной форме общие интегралы уравнений движения (2), достаточно будет заменить в них t' через e~kt, чтобы получить общие интегралы предложенных уравнений движения (1).
Этот же метод преобразования можно применить, очевидно, к движению свободной точки, или точки, скользящей по неподвижной или движущейся кривой, когда на нее действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости. (Эллиот, Comptes rendus, 1893; Annales de l'Ecole Normale, август, 1893.)
13. Приложить предыдущий метод Эллиота к следующим примерам. 1°. Точка движется по неподвижной поверхности, для которой
ds2 =Edtf + 2 F dudv + G dv2,
причем силовая функция равна U и на точку действует пропорциональная скорости V сила сопротивления среды, равная kV.
Ответ. Если W (и, v, а, ?) — полный интеграл уравнения
то уравнения движения суть
да - ' Є <Й
2°. Точка движется по неподвижной кривой, для которой ds2 = Edu2, при сопротивлении среды, равном k V.
Ответ. Если W (и, а) есть интеграл уравнения
то конечное уравнение движения есть
да
3°. Завершить вычисления для случая свободной материальной точки, притягиваемой неподвижным' центром с силой, обратно пропорциональной расстоянию, и подверженной сопротивлению среды, пропорциональному скорости. (Эллиот, Annales de l'Ecole Normale, август, 1893.)
14. Приведение уравнений равновесия свободной нити к канонической форме. Пусть дана свободная нить, элемент ds которой находится под дей-
dU dU dU . rr
ствием силы, имеющеи проекции ds, -^ycls' s' где —заданная
функция от X, у, z, S. Если через qb q2, q3 обозначить координаты х, у, z,506
часть третья, динамика точки
,dx
dy
т dz ds'
то получим
а через pi, р2, р3 — величины , , , ,
T - ^ р\ + P2 + Р% Если, наконец, положить
H= U+T= U (qv q2, q3, S) + Vр\ + р\ + Р%
то уравнения равновесия могут быть приведены к канонической форме dq, _ дН др, _ дН
ds dp.,
ds
dq.
(v = 1, 2, 3).
Применить к этим уравнениям теорему Якоби. Таким путем получится другое доказательство теоремы Клебша (Journal de CreIIe, т. 57). (См. Comp-tes rendus, т. XCVI, 1883, стр. 688 и статью Марколонго «Rendiconti della R. Academia delIe Scienze de Napoli», 1888.)
15. Привести точно так же к канонической форме уравнения равновесия нити, скользящей по поверхности. (Comptes rendus, т. XCVI1 1883, стр. 688.)
16. Доказать, что определитель коэффициентов при qv q2, q3 в уравнениях (2) п. 292 равен квадрату функционального определителя величин X, у, z, рассматриваемых как функции параметров qv q2, q3.
17. Материальная точка скользит без трения по поверхности однородного эллипсоида вращения и притягивается элементами этого эллипсоида по закону Ньютона. Найти движение. (Якоби, Crelle, т. 24.)
(По теории притяжения, сила притяжения точки эллипсоидом имеет проекции X = — fx, Y =—/у, Z =— gz, где /и g — постоянные, а ось Oz является осью вращения.
18. Найти движение точки, находящейся под действием ньютоновского притяжения к двум подвижным центрам, описывающим неподвижную окружность таким образом, что они постоянно находятся на двух концах одного и того же диаметра, а движущаяся точка всегда находится в плоскости, определенной этим диаметром и осью окружности. (Д е б о в, Journal de Liou-ville, т. XIII1.)
19. В случае эллиптических координат на плоскости задача интегрирования уравнений движения точки приводится к квадратурам, когда силовая функция имеет вид
1 U1
1 Uo
и.
Я\ Яг
В пространстве задача приводится к квадратурам, когда силовая функция имеет вид
1 qi Ui 1 q2 U2 1 Яг U3
J-.
1 Яі ЯІ 1 Яг ЯІ 1 Яз ЯІ
где функции U1, U2, Uз являются каждая функцией соответственно параметров qb q2 и q3. (Л и у в и л л ь, Journal de Liouville, т. XII1.)глава xv. ПРИнЦиП ДАЛАМБера нАИМенЬШЕГО ДЕЙСТВия 507
Убедиться, что к этой форме можно привести силовую функцию, обратно пропорциональную степени движущейся точки относительно одной из софо-кусных поверхностей, например,
k
U :
а
V2 г2
/ CCC \
I получится, что U1, Uo, Ub равны —, —, —, где С—постоянная). (Bul-\ Яі ЯІ Яз }
Ietin de la Societe mathematique de France, т. XIX, стр. 102.)
К этой форме можно привести силовую функцию для точки, скользящей по эллипсоиду и притягиваемой центром пропорционально расстоянию (см. Лиувилль, Journal de Liouville, т. XII); тот же вопрос исследован Шель-бахом (Crelle, т. 44, стр. 380).
20. При системе плоских эллиптических координат предполагается, что движущаяся точка находится под действием силы, имеющей силовую