Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
rX г\
2
LL1 „Iх 2 „
их элементарных работ +,Orl--— Ьл> есть полный дифференциал силовои
rI Г2
функции
U = — 4- —
Г1 Г2
Но так как квадрат большой полуоси эллипса, проходящего через точку М, равен а — qb то сумма г, + г2 расстояний от точки M до обоих фокусов будет
rI + г г = 2 Ya — Чі-
Точно так же квадрат поперечной полуоси гиперболы, проходящей через точку М, равен а — q2, и мы имеем
г, — г, = 2 Ya — q2,
откуда
ri = Ya—qx + Ya — q2, r2 = Ya — q, — \ a — q2. После приведения к общему знаменателю, получим
ц = И і 1^2 _ Uj-Ui Г1 Г2 q2—qi
где для краткости положено
U1 = — ((J-I -f (х„) Ya — qx, U2 = - (? + (X2) Ya — q2, так что Ui зависит только от дл, a U2—только от q2, что весьма суще- глава xv. ПРИнЦиП ДАЛАМБера нАИМенЬШЕГО ДЕЙСТВия 495
ственно для дальнейшего. Вспомогательные переменные pv р2, ps равны здесь частным производным от T по qv ?2 и 8 :
Pi = -J nWV Рг=\ N2l2> Pz = У2®'-
п IinI
Разрешая эти уравнения относительно qv q2 и 8 и подставляя затем в функцию Гамильтона H — T—U, получим
2р\ 2р\ pi U2-U1 N1 ^ N2 ^ 2у2 Q2-Qi ¦
Заменяя N1, N2 и у3 их значениями в функции q1 и q2 и замечая, что можно написать
1 _ a — b _ a — b / 1___1 \
У* ~~ (b — qx)(b — qi) ~ q-i—q, \ b — qx b — q2)'
мы представим окончательно функцию H в виде
Н = - 2/Ш+ (*=* -ь=т№~и'+ •
Теперь легко написать уравнение Якоби; мы напишем сразу уравнение для W, получающееся, как и раньше (стр. 481), путем подстановки V =— ht -(- W-
Можно найти полный интеграл вида
W = аб + R1 + R2,
где R1 зависит только от qv a R2—только от q2. Действительно, подставляя в предыдущее равенство это выражение W и освобождаясь от знаменателей, мы получим для определения R1 и R2 уравнение, которое можно написать в виде
где правая часть зависит только от qv а левая часть — только от q2. Так как в уравнении с частными производными параметры qj и q2 являются независимыми переменными, то единственный способ, которым можно удовлетворить этому последнему соотношению, не устанавливая зависимости между q1 и q2, заключается в приравнивании каждой части в отдельности одной и той же постоянной 2?. Разрешим после этого полученные таким
, dR. dRз „
образом уравнения относительно и -^-=. Тогда, полагая
dIi dQi 496
часть третья, динамика точки
мы получим
rfAi="/ 7?]^' d^--
Y
So
/Ш
dcIi-
Эти выражения определяют R1 и R2 в квадратурах и для искомого полного интеграла получается выражение
W
—+//7§гЛ+//т1
dq2
с тремя произвольными постоянными а, ? и h, из которых ни одна не является аддитивной. Для получения траекторий нужно теперь приравнять постоянным а' и ?' частные производные от W по а и ?:
6 — (а — Ь)а
f
dq,
4 (ft — ^i) V SJiq1)
dqo
J 4 (b — q2) YSofiq-т)
dq, C dqo
— (a — b) a
(T)
Второе из этих уравнений, устанавливающее соотношение между ^1 и q2, представляет относительную траекторию в движущейся плоскости хОу; первое уравнение определяет угол вращения этой плоскости. Чтобы получить время, приравняем частную производную от W по h разности t —10:
_! f -'h dch 1 f q* = t — t 4 J YS1Aql) 4 J уSoJ{qi)
Таким образом, задача приведена к квадратурам. Эти квадратуры являются эллиптическими, как в этом можно убедиться, полагая q1 — a = S1 и q2—а так чтобы S1 и S2 стали рациональными относительно S1 и S2.
Что касается выражений для вспомогательных переменных рь р.ь рг, то для их нахождения нужно взять частные производные от W по qlt q2, 0:
Pi=Vmr Ш)' p^a-
Последняя формула выясняет смысл постоянной а. В самом деле, из уравнения, определяющего ps, мы имели ps = у°-Г (стр. 874). Следовательно, интеграл ря = а дает
у-0' = а,
что выражает возможность применения закона площадей к проекции движения на плоскость УіОгх, так как у и 0 являются полярными координатами проекции движущейся точки на эту плоскость. Это обстоятельство можно было предвидеть заранее, так как силы, действующие на точку, пересекают ось Ох.
В частном случае, когда начальная скорость точки пересекает ось Oxr траектория будет, очевидно, находиться в плоскости Al1O1O2, определяемой начальным положением точки и обоими притягивающими центрами. В этом можно убедиться и из уравнений. В самом деле, постоянная а будет в этом случае равна нулю и первое из уравнений (T) траектории обратится в следующее:
О = а'. глава xv. ПРИнЦиП ДАЛАМБера нАИМенЬШЕГО ДЕЙСТВия 497
Это показывает, что плоскость уОх останется неподвижной. Второе из уравнений (T) определит траекторию в эклиптических координатах.
Интегрирование уравнения Эйлера, Допустим, что не только а = О, но и (j., = (j.2 = 0. Тогда плоскость уOx будет неподвижной, траектория будет плоской и так как сил нет, то эта траектория будет прямой линией на плоскости у Ох. При этих предположениях второе из уравнений (T) после замены f(q\) и f(q2) их выражениями примет вид
Г dq j f dq,
J /(2? —Aft)(a—ft) (?-ft)' J /(2P— hq$(a — q2)(b — ?3)
(E)
Следовательно, это уравнение представляет прямую, и оно может быть отождествлено с уравнением прямой линии в эллиптических координатах, которое будет, очевидно, алгебраическим относительно ft и ft. Таким путем мы воспроизвели, следуя Лагранжу, очень важный результат, данный Эйлером и выражающий, что уравнение (E) допускает алгебраический интеграл. На этом результате основывается сложение эллиптических функций.
