Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
часть третья, динамика точки
Мы знаем, что для планеты орбита является эллиптической; наибольший и наименьший радиусы-векторы, соответствующие афелию и перигелию, равны а(\е) и aO—еУ< с другой стороны, уравнение (III) показывает, что
Следовательно, корни подкоренного выражения должны соответствовать максимуму и минимуму радиуса-вектора; поэтому эти корни равны а(\-\-е) и а(1—е) и на основании зависимости между корнями и коэффициентами получаем
h = -?^, Gs = na(l = цр, G=YVp-
Найдем теперь смысл величины L. Для того чтобы из уравнения (II) можно было получить вещественное значение для с[>, когда задана функция ср, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
L2
>0
COS J ср
и для каждого значения ср, удовлетворяющего этому условию, соответствующее значение ср, определяемое из уравнения (I), должно быть обязательно вещественным, так как орбита является вещественным эллипсом. Поэтому ср
имеет верхний предел arccos и может этого предела достигать. Но, очевидно, что наибольшим значением угла ср является угол / между плоскостью орбиты и плоскостью эклиптики, и мы должны иметь
А = cos /, L = Y № cos /.
Нам нужно теперь установить нижние пределы интегралов. Мы примем для этих пределов г = д (1—е), что соответствует перигелию, И ср = 0, что соответствует узлу /V. Тогда уравнение (III) показывает, что /0 есть время прохождения через перигелий, а уравнение (II),— что есть долгота узла.
Для вычисления С допустим, что планета находится в перигелии. Тогда уравнение (I) обратится в следующее:
9;
о J -^Jl==с,
О \f Gi-
L"-
COi2 ср
где ср, — широта перигелия. Принимая во внимание соотношение Z = Gcos/, мы можем написать
T I /
cos ср dip __
у COS2 ср — COS2 /
или, интегрируя,
. / SIll Cp1 \ . . .
arcsm -= С, sm с, = sm г sin С.
\ sin і TL
Пусть NhP (рис. 1776) являются точками пересечения радиусов-векторов восходящего узла и перигелия со сферой радиуса 1, имеющей центр в точке О, a PQ = If1 — широта перигелия. В треугольнике NPQ иічеем
sin ф, = sin NP sin /, глава xv. ПРИнЦиП ДАЛАМБера нАИМенЬШЕГО ДЕЙСТВия 493
что показывает, что С равно NP, т. е. углу между радиусами-векторами перигелия и восходящего узла.
307. Движение точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами, обратно пропорционально квадрату расстояния. Задача движения точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами с силой обратно пропорциональной квадрату расстояния, была впервые приведена к квадратурам Эйлером для случая плоского движения. Лагранж дал общее решение, которое Якоби связал с методами интегрирования, излагаемыми в этой главе. Эллиптические квадратуры, встречающиеся в интегралах, дали Лежандру важный пример для приложения его теории эллиптических интегралов.
Этому же вопросу посвящены диссертации Серре, Дебова и Андраде *) (во Франции) и работа Кёнигсбергера (в Германии), озаглавленная «De motu puncti versus duo centra attractb (Берлин, 1860) и содержащая приведение эллиптических интегралов к функциям в.
Примем за ось Ox (рис. 178) прямую, соединяющую оба притягивающих центра O1 и O2l за начало координат — точку, лежащую посредине между
ними, и обозначим через 2с расстояние O1O2. Пусть Оуі и Ozl — две другие неподвижные оси, образующие с осью Ox прямоугольный триедр. Для определения положения в пространстве движущейся точки M введем сначала угол 0, который образует плоскость MOlO2, проведенная через движущуюся точку и ось Ох, с плоскостью JcOy1; этот угол измеряется углом между осью Oy1 и следом Oy плоскости MOiO2 на плоскости УіО^.
Определив таким образом плоскость уОх, мы обозначим для фиксирования положения движущейся точки на этой плоскости через X и у ее декартовы координаты OP и OQ относительно осей хОу и через и q2 ее эллиптические координаты в той же плоскости, определенные системой софокусных конических сечений с фокусами O1 и O2 (п. 287). Координаты ТОЧКИ M относительно неподвижных осей суть X, Уі, Zi, и мы имеем
Рис. 178.
Уі = у COS
Zi = у sin I
Отсюда для квадрата линейного элемента получаем
ds- = dx2 + dy\ + dz\ = dx2 + dy1 + у2 <Я2.
Если мы теперь воспользуемся для определения положения точки (х, у) в плоскости хОу эллиптическими координатами qx и q2, являющимися корнями уравнения
. у2
¦ 1 = 0 (а—Ь=с2),
*) Andrade, Journal de l'Ecole Polytechnique, вып. 60, 1890. 494 часть третья, динамика точки
то по установленным ранее формулам (п. 287)
„» _ {а — Ч\){а — Ч?) Л|, _ (Ь — ?t) (b — д2) Х - Ь — а ' У _ ^b '
OJfl + dy*-= ^ (N1 dq\ + N2 dq»),
имеем:
Следовательно, в рассматриваемой системе координат квадрат линейного элемента равен
ds2 = і- (Ar1 dq\ + JV2 rf?2) + у2 rf02,
где AT1, N2 и у2 должны быть заменены их выражениями через q, и q2, написанными выше.
Примем массу точки за единицу. Тогда кинетическая энергия будет
т = T (%)'= ? (n^ + + T у2е'3'
где 0 и 0' играют роль параметров qs и q's. Если через г, и г2 обозначить расстояние от движущейся точки до обоих фокусов, то алгебраические значения сил притяжения со стороны этих фокусов равны — ~ и — , а сумма
