Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 195

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 189 190 191 192 193 194 < 195 > 196 197 198 199 200 201 .. 205 >> Следующая


кт-нт^-^

ИЛИ

1 (dwY пи Л 1 (dw\2 пи л

Приравняв каждую из этих двух величин одной и той же постоянной 2а, легко получим полный интеграл W, образованный суммой двух функций, из которых одна зависит только от qL, а другая только от q2. Этот интеграл есть

W=j" YtB1 (IiA1 + a) dq, + J YtB2 (hA2 + а) dq.,. Уравнение геодезических линий будет тогда ^^- — а', а время опре-

, , , dW.

делится из формулы t — Г0 = :

J Yt (IiA1 + a) J ^2 (/M2 4-а)

и 4 Г_Ai YB1 Г .

* — 4= / г — dQi + / г =dQl-

J Yz (IlA1+ a) J Yt (IlA2 + а)

Так как по теореме кинетической энергии скорость точки постоянна, то

ds = Yth dt, S -S0 = Yth (t — t0).

Второе соотношение определяет дугу геодезической линии. Приложим этот метод к эллипсоиду. Пусть

X2 V2 г2

-jT-TjT1--1=0 (2)

а 1 Ь с w

— уравнение эллипсоида с тремя неравными осями. Рассмотрим софокусные поверхности

а — л ' b — X ' с — X

Через каждую точку пространства проходят три такие поверхности, соответствующие трем значениям qv q9, q3 величины X (п. 286). В частности, через точку М, взятую на эллипсоиде (2), проходит сам рассматриваемый эллипсоид, соответствующий значению X = O (q9 = 0), и две другие софокусные поверхности, соответствующие значениям <7i и q2 величины X. Мы примем эти два параметра q1 и q2 за координаты точки M на поверхности. Согласно теореме Дюпена, кривые qx = const, и q2 = const, являются линиями кривизны эллипсоида. Для величины ds2 в эллиптических координатах мы нашли ранее (п. 286) выражение вида

ds2 = 1 (M1 dq\ + Al2 dq\ + Al3 dq*).

Так как сейчас ^3 = 0, то dq9 = 0. Тогда, заменяя Al1 и Al2 их значениями при <73 = 0, получим

dq2 = a', (1)

ds2 = ft" Г d^

4 l(a — qi)(b — qi)(c —

QidQl

Qi) (а — Qi) (b — Qu) (с — 4-і). 490

часть третья, динамика точки

Эта величина ds2 действительно имеет форму, данную Лиувиллем, причем

А,-Я-1 An - ^2

A1- A2--,

Bl — -Г~Г,——-ГТ-Г . Во = -

(а — Q1) (b — Q1) (с — qt) ' - (а — q2) (b — q2) (с — q2) '

Подставляя эти значения в общие уравнения (1), получим уравнение геодезических линий и дуги этих кривых в форме, данной Якоби. Эти уравнения содержат ультраэллиптические интегралы. Вейерштрасс дал обращение этих интегралов, выразив и q2 в виде однозначных функций некоторого параметра.

Более подробные сведения о поверхностях Лиувилля можно найти в «Lefons sur Ia Theorie generale des surfases» Дарбу (часть 3, глава 1) и в премированной работе Кёнигса (Savants etrangers, 1894).

IV. Движение в пространстве

306. Движение планеты в сферических координатах по Якоби («Vorlesungen», лекция 24). Примем за плоскость ху плоскость эклиптики, за ось X — прямую, соединяющую Солнце с точкой весеннего равноденствия, и определим положение планеты ее сферическими координатами г, ср, ф, где

ф— долгота планеты, а ср

'X

ее широта (рис. 177а). Оси ориентированы, как в астрономии. Переменные г, ср, ф играют роль параметров qx, q2, q3.

Для силовой функции имеем U = -у, причем масса планеты принята равной единице. Из выражения rfs2 в сферических координатах непосредственно имеем

7" = 4" (У2 +'Y2 +Ф'2 cos* ср).

Далее

Pi —

2

дТ

дг'

Pi ¦¦

дТ

дер'

Рис. 177а.

дТ

p* = w = r4'cos

Подставляя найденные отсюда значения г', ср', ф' в Т, получим

и T IT- Ч о* \РІ І pl ) ^

H=T-U= 2 ^1+75-+ r* C081J ~Т-

Г- ' Vі COS -

Следовательно, уравнение с частными производными для W будет

IdW W

1

J_ IY dirV 4- -L (—\2____

2 IA дг ) + \ дер / + г"- COS2 ср V йф

УМ+-

(1)

Для данного частного вида уравнения (1) можно найти полный интеграл в виде

W = R + Ф +

где R, Ф, W являются соответственно функциями переменных Г, <f>, ф. ГЛАВА XV. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 491

Для того чтобы W удовлетворяло уравнению (1), необходимо, чтобы было

J- / Р'2 _1_ J_ ф'2 J__ЦГ'2 \ _ Ji і и

2 V ^r2 COSS9 * J r +

Это уравнение после выделения членов с г можно написать таким образом:

Ф'2+--L-W'2 = г2 (2A + ^-R'2).

1 C0S2 ср \ r j

Левая часть" зависит только от ср и ty, а правая только от г; следовательно, это равенство возможно лишь в том случае, когда каждая часть в отдельности равна одной и той же постоянной величине G2, так как в уравнении (1) переменные г, ср, ф независимы. Следовательно, имеем

= R = f 2 k+^—^dr

г-

ф'2 ^--1— ф'2 = Q2

COS2 ср

ф'2 = (G2 — Ф'2) COS

« ср.

Повторяя те же рассуждения, что и выше, мы увидим, что обе части последнего равенства должны в отдельности равняться одной постоянной Z,2, вследствие чего

W = L, Ф = Lty

H

Ф'2 = 02--, Ф = [л/ G2--d4.

COS2 ср Jr COS2Cp т

Таким образом, полный интеграл уравнения (1) есть

W= IV U + ^-^dr + Lty+ f ]/" G2-^dcp

COS2 CfI

= С, (I)

и конечные уравнения движения имеют вид

dW _ dW , dW , ,

т. е.

— G f-^ dr +G [- , _

K r r2 V COS2 ср



ty-L J-Jt = (H)

COS2 cpl/ G2--—

Г COS2 ср

г

J —г dr, == = ^-^0- (III)



2 ix G2_

72*

Два первых уравнения, не содержащих і!, определяют траекторию. Чтобы дополнить решеяие, укажем на смысл входящих в эти формулы постоянных. 492
Предыдущая << 1 .. 189 190 191 192 193 194 < 195 > 196 197 198 199 200 201 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed