Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
кт-нт^-^
ИЛИ
1 (dwY пи Л 1 (dw\2 пи л
Приравняв каждую из этих двух величин одной и той же постоянной 2а, легко получим полный интеграл W, образованный суммой двух функций, из которых одна зависит только от qL, а другая только от q2. Этот интеграл есть
W=j" YtB1 (IiA1 + a) dq, + J YtB2 (hA2 + а) dq.,. Уравнение геодезических линий будет тогда ^^- — а', а время опре-
, , , dW.
делится из формулы t — Г0 = :
J Yt (IiA1 + a) J ^2 (/M2 4-а)
и 4 Г_Ai YB1 Г .
* — 4= / г — dQi + / г =dQl-
J Yz (IlA1+ a) J Yt (IlA2 + а)
Так как по теореме кинетической энергии скорость точки постоянна, то
ds = Yth dt, S -S0 = Yth (t — t0).
Второе соотношение определяет дугу геодезической линии. Приложим этот метод к эллипсоиду. Пусть
X2 V2 г2
-jT-TjT1--1=0 (2)
а 1 Ь с w
— уравнение эллипсоида с тремя неравными осями. Рассмотрим софокусные поверхности
а — л ' b — X ' с — X
Через каждую точку пространства проходят три такие поверхности, соответствующие трем значениям qv q9, q3 величины X (п. 286). В частности, через точку М, взятую на эллипсоиде (2), проходит сам рассматриваемый эллипсоид, соответствующий значению X = O (q9 = 0), и две другие софокусные поверхности, соответствующие значениям <7i и q2 величины X. Мы примем эти два параметра q1 и q2 за координаты точки M на поверхности. Согласно теореме Дюпена, кривые qx = const, и q2 = const, являются линиями кривизны эллипсоида. Для величины ds2 в эллиптических координатах мы нашли ранее (п. 286) выражение вида
ds2 = 1 (M1 dq\ + Al2 dq\ + Al3 dq*).
Так как сейчас ^3 = 0, то dq9 = 0. Тогда, заменяя Al1 и Al2 их значениями при <73 = 0, получим
dq2 = a', (1)
ds2 = ft" Г d^
4 l(a — qi)(b — qi)(c —
QidQl
Qi) (а — Qi) (b — Qu) (с — 4-і).490
часть третья, динамика точки
Эта величина ds2 действительно имеет форму, данную Лиувиллем, причем
А,-Я-1 An - ^2
A1- A2--,
Bl — -Г~Г,——-ГТ-Г . Во = -
(а — Q1) (b — Q1) (с — qt) ' - (а — q2) (b — q2) (с — q2) '
Подставляя эти значения в общие уравнения (1), получим уравнение геодезических линий и дуги этих кривых в форме, данной Якоби. Эти уравнения содержат ультраэллиптические интегралы. Вейерштрасс дал обращение этих интегралов, выразив и q2 в виде однозначных функций некоторого параметра.
Более подробные сведения о поверхностях Лиувилля можно найти в «Lefons sur Ia Theorie generale des surfases» Дарбу (часть 3, глава 1) и в премированной работе Кёнигса (Savants etrangers, 1894).
IV. Движение в пространстве
306. Движение планеты в сферических координатах по Якоби («Vorlesungen», лекция 24). Примем за плоскость ху плоскость эклиптики, за ось X — прямую, соединяющую Солнце с точкой весеннего равноденствия, и определим положение планеты ее сферическими координатами г, ср, ф, где
ф— долгота планеты, а ср
'X
ее широта (рис. 177а). Оси ориентированы, как в астрономии. Переменные г, ср, ф играют роль параметров qx, q2, q3.
Для силовой функции имеем U = -у, причем масса планеты принята равной единице. Из выражения rfs2 в сферических координатах непосредственно имеем
7" = 4" (У2 +'Y2 +Ф'2 cos* ср).
Далее
Pi —
2
дТ
дг'
Pi ¦¦
дТ
дер'
Рис. 177а.
дТ
p* = w = r4'cos
Подставляя найденные отсюда значения г', ср', ф' в Т, получим
и T IT- Ч о* \РІ І pl ) ^
H=T-U= 2 ^1+75-+ r* C081J ~Т-
Г- ' Vі COS -
Следовательно, уравнение с частными производными для W будет
IdW W
1
J_ IY dirV 4- -L (—\2____
2 IA дг ) + \ дер / + г"- COS2 ср V йф
УМ+-
(1)
Для данного частного вида уравнения (1) можно найти полный интеграл в виде
W = R + Ф +
где R, Ф, W являются соответственно функциями переменных Г, <f>, ф.ГЛАВА XV. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 491
Для того чтобы W удовлетворяло уравнению (1), необходимо, чтобы было
J- / Р'2 _1_ J_ ф'2 J__ЦГ'2 \ _ Ji і и
2 V ^r2 COSS9 * J r +
Это уравнение после выделения членов с г можно написать таким образом:
Ф'2+--L-W'2 = г2 (2A + ^-R'2).
1 C0S2 ср \ r j
Левая часть" зависит только от ср и ty, а правая только от г; следовательно, это равенство возможно лишь в том случае, когда каждая часть в отдельности равна одной и той же постоянной величине G2, так как в уравнении (1) переменные г, ср, ф независимы. Следовательно, имеем
= R = f 2 k+^—^dr
г-
ф'2 ^--1— ф'2 = Q2
COS2 ср
ф'2 = (G2 — Ф'2) COS
« ср.
Повторяя те же рассуждения, что и выше, мы увидим, что обе части последнего равенства должны в отдельности равняться одной постоянной Z,2, вследствие чего
W = L, Ф = Lty
H
Ф'2 = 02--, Ф = [л/ G2--d4.
COS2 ср Jr COS2Cp т
Таким образом, полный интеграл уравнения (1) есть
W= IV U + ^-^dr + Lty+ f ]/" G2-^dcp
COS2 CfI
= С, (I)
и конечные уравнения движения имеют вид
dW _ dW , dW , ,
т. е.
— G f-^ dr +G [- , _
K r r2 V COS2 ср
<р
ty-L J-Jt = (H)
COS2 cpl/ G2--—
Г COS2 ср
г
J —г dr, == = ^-^0- (III)
2 ix G2_
72*
Два первых уравнения, не содержащих і!, определяют траекторию. Чтобы дополнить решеяие, укажем на смысл входящих в эти формулы постоянных.492