Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
или
As?i+ft8?2 = 0. (a')
Чтобы установить, что траектории = ортогональны к кривым
W(qlt q2, a, h) = Const., (Ь)
достаточно показать, что скорость точки ортогональна к перемещению 8<7j, bq2, лежащему на этой кривой, т. е. к перемещению, удовлетворяющему соотношению
dW * I dW * г, / ч
= (с)глава xvi. канонические уравнения. теорема якоби 483
о й dW dW Но по теореме Якоби и -щ- равны P1 и рг и, следова-
тельно, условие (с) влечет за собой условие ортогональности (а').
302. Параболическое движение тяжелой точки в пустоте.
Примем, как и в п. 217, горизонтальную ось в плоскости траектории за ось Ох, направленную вверх вертикаль — за ось Oy и введем декартовы координаты X v. у. Полагая /и = 1, найдем U =— gy, и уравнение, определяющее функцию W, напишется так:
Так как х не входит в коэффициенты, то существует решение вида
W = ax + <f(y).
Действительно, подставляя это выражение для W в уравнение, получим
-Л + 1[(^ + <р'2(у)] + ?у = 0,
откуда, разрешая относительно <р' (у) и интегрируя по у для нахождения <р (у), получаем решение
W--
¦ = ах + Jy2/1—а* — 2gy dy.
Уравнение траектории будет тогда
dW _iL
aJ у о h — ai
да ' J Y2ti — a* — 2gy
и время t можно определить из формулы
dW___ _ _
dh~ -°' "tJ Y2h — a* — 2gy Выполняя квадратуру, получим уравнение
(1)
* + = -'+I V2h-Z-2rV==->(2)
x + — Y2h — o? — 2gy= а'.
Возводя это уравнение в квадрат, представим его в виде трехчлена второй степени относительно X, из которого можно определить у. Таким образом, мы непосредственно убеждаемся, что траектория (1) является действительно параболой с вертикальной осью. Что касается уравнения, определяющего t, то, исключив интеграл из равенств (1) и (2), мы можем написать его в виде
t t Х~а' 0 a
Это уравнение выражает, что горизонтальная проекция точки совершает
і, dW dW
равномерное движение. Кроме того, уравнения pt = , рг = -щ- в данном
случае будут х' =а', у' = Y2h — а2 — 2gy.
Траектории, соответствующие изменению а', получаются одна из другой поступательным перемещением, параллельным оси Ох. Все эти параболы
33*484 часть третья, динамика точки
„ 2А —аз
касаются прямой с ординатои —^—, являющейся геометрическим местом их вершин. Кривые IF=Const. суть полукубические параболы (рис. 176)
3
ах — — (2 h — as — 2gyfi = const.,
получаемые все из одной поступательным перемещением, параллельным оси Ох. Все эти полукубические параболы нормальны к прямой AB с ор-
2Л — &
динатой —— >и эти пРямые являются геометрическим местом их точек
возврата. Они ортогональны к предыдущим параболам на основании теоремы п. 301.
303. Центральная сила — функция расстояния. Мы видели (п. 296), что если начало координат взять в центре сил и если силовая функция равна 1Ir (г), то в полярных координатах гиб функция H будет иметь вид
"-4(/* + ?
Применим метод Якоби. Уравнение, определяющее W, для которого требуется найти полный интеграл, будет следующего вида:
Так как в это уравнение не входит явно 0, то будем искать интеграл в виде
W = au + R,
где R зависит только от г. Тогда нужно, чтобы эта функция R удовлетворяла обыкновенному дифференциальному уравнению
откуда находим _
R = J^2(Т + А)-^а dr.глава xv. ПРИнЦиП ДАЛАМБера нАИМенЬШЕГО ДЕЙСТВия
485
Следовательно, полный интеграл уравнения Якоби для W имеет вид
Г = а0 + У Jf 2(V + A) — a^dr и конечные уравнения движения будут
dW
да
dW dh
= 6-а/.
dr
-V
r*y 2(?'+ А)--у
dr
= t- to.
Первое уравнение определяет траекторию, а второе—время, необходимое точке для достижения заданного положения на этой кривой.
Значения P1 и ръ если это понадобится, найдутся из равенств:
Pi
2 («¦+ ft) —.
dW />2 = Ж = °.
Последнее уравнение показывает, что а есть не что иное, как постоянная площадей, так как р2 равно г-Ь'.
Из теоремы кинетической энергии мы знаем, что H должно оставаться постоянным в течение всего времени движения. Мы можем проверить это предложение, воспользовавшись полученными сейчас формулами. Действительно, если мы в вы- У ражении
1 / тИ \
'(г)
заменим переменные р, и р2 их значениями, получим
1 Г а2 а21
[ 2 + A)— _ -f _ j - ^ = л,
то
Рис. 177.
что и подтверждает, что А действительно является постоянной интеграла кинетической энергии, как мы это доказали ранее.
Траектории, получающиеся при изменении а', что равносильно вращению одной из них вокруг полюса, ортогональны к кривым W = const.; эти кривые также получаются вращением какой-нибудь одной вокруг полюса.
304. Уравнения движения планеты в форме Якоби. Возьмем начало координат в Солнце, плоскость траектории примем за плоскость ху и обозначим через г расстояние МО от планеты до Солнца (рис. 177). Весь вопрос сводится к нахождению полного интеграла уравнения
(1)
так как сила притяжения равна — ^ и поэтому силовая функция равна ~ .
Следуя методу предыдущего примера, мы найдем полный интеграл, который будет уравнением движения планеты в классической форме.