Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 193

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 187 188 189 190 191 192 < 193 > 194 195 196 197 198 199 .. 205 >> Следующая


или

As?i+ft8?2 = 0. (a')

Чтобы установить, что траектории = ортогональны к кривым

W(qlt q2, a, h) = Const., (Ь)

достаточно показать, что скорость точки ортогональна к перемещению 8<7j, bq2, лежащему на этой кривой, т. е. к перемещению, удовлетворяющему соотношению

dW * I dW * г, / ч

= (с) глава xvi. канонические уравнения. теорема якоби 483

о й dW dW Но по теореме Якоби и -щ- равны P1 и рг и, следова-

тельно, условие (с) влечет за собой условие ортогональности (а').

302. Параболическое движение тяжелой точки в пустоте.

Примем, как и в п. 217, горизонтальную ось в плоскости траектории за ось Ох, направленную вверх вертикаль — за ось Oy и введем декартовы координаты X v. у. Полагая /и = 1, найдем U =— gy, и уравнение, определяющее функцию W, напишется так:

Так как х не входит в коэффициенты, то существует решение вида

W = ax + <f(y).

Действительно, подставляя это выражение для W в уравнение, получим

-Л + 1[(^ + <р'2(у)] + ?у = 0,

откуда, разрешая относительно <р' (у) и интегрируя по у для нахождения <р (у), получаем решение

W--

¦ = ах + Jy2/1—а* — 2gy dy.

Уравнение траектории будет тогда

dW _iL

aJ у о h — ai

да ' J Y2ti — a* — 2gy

и время t можно определить из формулы

dW___ _ _

dh~ -°' "tJ Y2h — a* — 2gy Выполняя квадратуру, получим уравнение

(1)

* + = -'+I V2h-Z-2rV==->(2)

x + — Y2h — o? — 2gy= а'.

Возводя это уравнение в квадрат, представим его в виде трехчлена второй степени относительно X, из которого можно определить у. Таким образом, мы непосредственно убеждаемся, что траектория (1) является действительно параболой с вертикальной осью. Что касается уравнения, определяющего t, то, исключив интеграл из равенств (1) и (2), мы можем написать его в виде

t t Х~а' 0 a

Это уравнение выражает, что горизонтальная проекция точки совершает

і, dW dW

равномерное движение. Кроме того, уравнения pt = , рг = -щ- в данном

случае будут х' =а', у' = Y2h — а2 — 2gy.

Траектории, соответствующие изменению а', получаются одна из другой поступательным перемещением, параллельным оси Ох. Все эти параболы

33* 484 часть третья, динамика точки

„ 2А —аз

касаются прямой с ординатои —^—, являющейся геометрическим местом их вершин. Кривые IF=Const. суть полукубические параболы (рис. 176)

3

ах — — (2 h — as — 2gyfi = const.,

получаемые все из одной поступательным перемещением, параллельным оси Ох. Все эти полукубические параболы нормальны к прямой AB с ор-

2Л — &

динатой —— >и эти пРямые являются геометрическим местом их точек

возврата. Они ортогональны к предыдущим параболам на основании теоремы п. 301.

303. Центральная сила — функция расстояния. Мы видели (п. 296), что если начало координат взять в центре сил и если силовая функция равна 1Ir (г), то в полярных координатах гиб функция H будет иметь вид

"-4(/* + ?

Применим метод Якоби. Уравнение, определяющее W, для которого требуется найти полный интеграл, будет следующего вида:

Так как в это уравнение не входит явно 0, то будем искать интеграл в виде

W = au + R,

где R зависит только от г. Тогда нужно, чтобы эта функция R удовлетворяла обыкновенному дифференциальному уравнению

откуда находим _

R = J^2(Т + А)-^а dr. глава xv. ПРИнЦиП ДАЛАМБера нАИМенЬШЕГО ДЕЙСТВия

485

Следовательно, полный интеграл уравнения Якоби для W имеет вид

Г = а0 + У Jf 2(V + A) — a^dr и конечные уравнения движения будут

dW

да

dW dh

= 6-а/.

dr



-V

r*y 2(?'+ А)--у

dr



= t- to.

Первое уравнение определяет траекторию, а второе—время, необходимое точке для достижения заданного положения на этой кривой.

Значения P1 и ръ если это понадобится, найдутся из равенств:

Pi



2 («¦+ ft) —.

dW />2 = Ж = °.

Последнее уравнение показывает, что а есть не что иное, как постоянная площадей, так как р2 равно г-Ь'.

Из теоремы кинетической энергии мы знаем, что H должно оставаться постоянным в течение всего времени движения. Мы можем проверить это предложение, воспользовавшись полученными сейчас формулами. Действительно, если мы в вы- У ражении

1 / тИ \

'(г)

заменим переменные р, и р2 их значениями, получим

1 Г а2 а21

[ 2 + A)— _ -f _ j - ^ = л,

то

Рис. 177.

что и подтверждает, что А действительно является постоянной интеграла кинетической энергии, как мы это доказали ранее.

Траектории, получающиеся при изменении а', что равносильно вращению одной из них вокруг полюса, ортогональны к кривым W = const.; эти кривые также получаются вращением какой-нибудь одной вокруг полюса.

304. Уравнения движения планеты в форме Якоби. Возьмем начало координат в Солнце, плоскость траектории примем за плоскость ху и обозначим через г расстояние МО от планеты до Солнца (рис. 177). Весь вопрос сводится к нахождению полного интеграла уравнения



(1)

так как сила притяжения равна — ^ и поэтому силовая функция равна ~ .

Следуя методу предыдущего примера, мы найдем полный интеграл, который будет уравнением движения планеты в классической форме.
Предыдущая << 1 .. 187 188 189 190 191 192 < 193 > 194 195 196 197 198 199 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed