Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
_ dW _ dW _ dW
Следовательно, условие (16) влечет за собой равенство (14) и скорость точки, будучи нормальной к любому перемещению, совершаемому по поверхности W = const., нормальна к этой поверхности.
300. Декартовы координаты в пространстве. Предположим, для простого примера, что qv q2, q3 обозначают декартовы координаты:
= «і. У — Яъ ^ = Q3'
1111. t X = qv у =q2, z = q3
и примем для простоты массу материальной точки, равной единице. Тогда
и если допустить, что существует силовая функция U (х, у, г), то функция Гамильтона будет
H= т—и. 480 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА точки
Необходимо выразить эту функцию через переменные х, у, г и вспомогательные переменные Pi, Pi, р3, определяемые формулами
дТ дТ дТ
так чтобы функция Гамильтона приняла вид
H=j(PI + PI+PI)-U{x, у, Z). Вследствие этого канонические уравнения будут
dx dy dz
~df=Pl' ~df = P* ~df= Ря'
dpj _ dU dp% _ dU dp3 _ dU
~Ж~1їх' ~dF~~ay~' ~df ~ ~dz~'
Исключение переменных p из этих уравнений приведет, очевидно, к обычным уравнениям движения.
Посмотрим, что дает в этом случае метод Якоби. Этот метод состоит в том, что нужно найти для дифференциального уравнения
дУ dt
, 1 Г/ <Ж\2 , і дУ\? , / dy\21 „,
+ тКлг) +(-?г) +Ы)\-и{х' г) = 0
полный интеграл, т. е. интеграл, содержащий три не аддитивные постоянные. Так как время не входит явно в это уравнение, то можно положить
V= — ht+ W(x, у, г),
где h — постоянная, и достаточно, чтобы функция W удовлетворяла соотношению
Если для этого уравнения с тремя переменными будет найден полный интеграл
W (X, у, z, а, ?, Л),
содержащий две новые постоянные а и ?, из которых ни одна не является аддитивной, то теорема Якоби показывает, что конечные уравнения движения будут
dW dW „, dW .
-зг = "' Ж = -'+-ж = -'*
Два первых уравнения представляют траекторию, а последнее определяет время, затрачиваемое движущейся точкой для прихода в какое-нибудь положение на ее траектории. Кроме того, для рь рр3 получаем значения
dV dV dV
Л = р*=~дГ' Рл = Tz '
и так как рь P2, р3 равны здесь х', у', z', а V равно — fit + W (х, у, z), то имеем
dW dW , dW
X = —, у = —г—, Z = —г—¦ .
dx J ду dz ГЛАВА XV. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 481
Эти формулы определяют проекции скорости точки, выраженные в функции ее координат через частные производные одной функции W. Так как эта функция удовлетворяет уравнению (J")> то
^ (х* +у'2+ У*) = U+ к,
что представляет собой не что иное, как интеграл кинетической энергии. Следовательно, А, как мы уже видели, является постоянной интеграла кинетической энергии.
Мы можем, между прочим, легко проверить геометрическое свойство траекторий. Дадим постоянным а, ?, h какие-нибудь определенные значения. Написанные выше выражения для х', у', г' через частные производные функции W показывают, что в каждой точке (х, у, г) скорость нормальна к той из поверхностей W = const., которая проходит через эту точку. Но скорость касается той из траекторий
dW dW
которая получается, если а' и ?' подобраны так, чтобы эта траектория проходила через рассматриваемое положение движущейся точки. Следовательно, все траектории, получающиеся при изменении а' и ?', нормальны к поверхностям W = const. Это и является геометрическим свойством траекторий, установленным выше в общей системе координат qv q2, q3.
III. Плоское движение. Движение no поверхности
301. Общие положения. Очевидно, что все вышеизложенное прилагается к движению на плоскости или к более общему случаю,— движению на поверхности, при условии использования двух координат qt и q2 вместо трех. Функция
H = K — U = P1^1 -(- P2q2 — T — U зависит тогда от pv р2, qv q2 и t, и уравнение Якоби имеет вид
Если известен полный интеграл V (qu q2, t, aа2) с двумя произвольными постоянными а1( а2, из которых ни одна не является аддитивной, то конечные уравнения движения будут
dV _, dV
— W2'
__ dV _ dV
Если система координат qv q2 определена независимо от времени и если функция t/ не зависит явно от времени, то время t не будет входить в коэффициенты уравнения (J). Тогда можно положить
V = — ht+W(qt, q2, а, А),
31 Зак, Є51. П. Аппель, т. I 482 часть третья, динамика точки
где W (<7j, q2, а, А) — полный интеграл уравнения
. , „( dW dW \ Л
с неаддитивной постоянной а. Уравнения движения будут тогда
dw t •a, + —
да ' dh
причем первое из них является уравнением траектории. Кроме того,
_ dW _ dW
Траектории, получающиеся при изменении а.', нормальны к кривым W = const.
Рассуждения, совпадающие с изложенными ранее для движения свободной точки, позволяют установить и эту теорему.
Условие ортогональности скорости х', у', г' и перемещения 8*, 8_у, 82 будет
х'Ьх + у' 8_у + 2'82 = 0. (а)
На поверхности в рассматриваемом случае будем иметь х = <?(Яи q2)' У = 'ИЯі- Яг)' Z = u>(qx, q2),
х' —JtLa' -і--Jl л'
Х — dqі + dq2 q2.....
bx=-stbqi+~ikbq2'
Кроме того,
Условие (а) можно тогда написать так:
^r Чх + ^т Ч2 = 0. dq1 dq2
