Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Примем ось вращения за ось z. Если уравнение меридиана в плоскости XZ есть Z = ср (х), то уравнение поверхности будет, очевидно, 2 = ср(г), где Г = Y^x2 -f-у2 есть расстояние от точки до оси. Обозначим через гиб полярные координаты проекции P движущейся точки на плоскость хОу. Для координат точки поверхности получим следующие выражения в функции двух параметров qj и q2:
где ср'=ср'(г). Так как мы ищем геодезические линии, то займемся исследованием движения точки, скользящей по поверхности без воздействия какой бы то ни было заданной силы. На эту точку будет действовать только реакция. Тогда по теореме кинетической энергии имеем
Далее теорема момента количества движения показывает, что для проекции движения на плоскость ху справедлив закон площадей
III. Движение на поверхности вращения
X = rcos 8, у = rsin 8, 2 = ср(г).
Выражение квадрата линейного элемента будет
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = (1 + ср'2) dr2 + г2 dB2,
(п. 203), т. е.
г2 dB = Cdt.
Из этих двух уравнений получаются два первых интеграла. ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ 429
Покажем, что интегрирование приводится к квадратурам. В самом деле, интеграл кинетической энергии после замены ds2 его значением принимает вид
dr2 (1 + ср'2) 4- г2 db2 = V20 dt2.
Чтобы получить проекцию траектории на плоскость ху, исключим отсюда dt при помощи уравнения площадей. Тогда найдем
2
dr2 (1 4- ср'2) 4- г2 db2 = ~ г4 db2-, или, полагая и разрешая относительно dо, получим
Г (G)
Знак, который нужно взять, определится из рассмотрения направления начальной скорости. Уравнение геодезической линии в конечной форме будет
I t^V
Это уравнение содержит две постоянные Аир, которые можно, например, определить из условия, что геодезическая линия проходит через две заданные точки. Из этих двух постоянных лишь первая влияет на форму к-ривой; изменение второй постоянной дает поворот геодезической линии вокруг оси поверхности.
Обозначив через da элемент дуги меридиана, получим
de2 = dr2 4- dz2 = (1 4- ср'2) dr2,
и дифференциальное уравнение геодезических линий можно будет написать в другом виде:
M=+ kd°
г YГ2 — к2
Примечание. В рассматриваемом случае имеем
r=![(i+?'V2+r*0'2],
где ср' — функция от г. Одно из уравнений Лагранжа будет
J_(dT1 dt
дТ
Так как T не содержит 6, то -37- равно нулю и мы получим
\дГ) de и-
дв
ж = C, гчк = с.
Таким образом, мы снова приходим к уравнению площадей. 3.430
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
274. Формула Клеро. Если обозначить через I угол, под которым геодезическая линия поверхности вращения пересекает меридиан, проходящий через точку M этой линии, а через г — расстояние от точки M до оси, то для всех точек линии выполняется соотношение
г sin г' = ft. (1)
В самом деле, если рассматривать точку, описывающую геодезическую линию при предыдущих условиях, то момент количества движения, или, что приводится к тому же, момент скорости точки относительно оси будет постоянным. Постоянное значение этого момента как раз равно постоянной С площадей на плоскости, пер' пендикулярной оси, так как момент скорости относительно оси Oz
равен Разложим скорость v движущейся точки M на две
составляющие, из которых одна г; sin г касается параллели, проходящей через точку М, а другая г/cos г касается меридиана. Момент скорости относительно оси вращения равен сумме моментов этих двух составляющих, но так как момент второй равен нулю, то, следовательно, момент скорости равен моменту rvsmi только первой составляющей. Следовательно,
rv sin l = C.
Но так как v = v0, то отсюда получается уравнение (1), причем
С
постоянная k имеет значение ¦— и поэтому совпадает с той, которая
входит в уравнение геодезической линии (п. 273).
Примечание. Соотношение (1) не характеризует геодезических линий. Если линия удовлетворяет этому уравнению, то она является либо геодезической линией, либо параллелью. Действительно, уравнение (1), очевидно, удовлетворяется для параллели, так
как для нее г = k, і = . Это решение является особым интегралом r = k, dr = 0 уравнения (G).
275. Упражнение. Геодезические линии поверхности, образованной вращением равносторонней гиперболы вокруг своей асимптоты. Уравнение поверхности будет .
а2
Z = - .
г
ai
Поэтому в приведённых выше формулах нужно заменить <f (г) через — и для проекций геодезических- линий "получится уравнение
Для того чтобы 6 было вещественным, необходимо, чтобы г было больше hl следовательно, ^кривая находится вне круга радиуса k. Можно, ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ
431
однако, полагать г = k, так как при этом значении подынтегральное выражение обращается в бесконечность вместе с ^ - и интеграл остается
Yr — k
конечным. Повернув оси на подходящий угол вокруг оси Oz (рис. 168), можно добиться того, чтобы 0 равнялось нулю при г = k, и мы получим
0 =
EL
rL. №
kdr
Начиная от значения к, г может неограниченно возрастать рушения вещественности 0; при этом 0, возрастая вместе с г, будет иметь некото- , у
