Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
(г — 6)2 = 4а (и — а). 3.426
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Это и есть уравнение искомых геодезических линий в конечной форме. Если и и V рассматривать как прямоугольные координаты точки плоскости, то кривые будут параболами, имеющими директрису на оси v. Поверхность, для которой мы нашли геодезические линии, развертывается на поверхность вращения. (См. Дарбу, Thfeorie generale des surfaces, часть 3, гл. II.)
272. Бесконечно малые колебания тяжелой точки около наинизшей точки поверхности. Рассмотрим на поверхности точку О, в которой касательная плоскость горизонтальна и поверхность в окрестности этой точки расположена над этой касательной плоскостью. Это положение О является положением устойчивого равновесия для тяжелой материальной точки, движущейся без трения по поверхности. Мы исследуем бесконечно малые колебания около этого положения равновесия. Примем точку О за начало координат, ось Oz направим вертикально вверх, а оси Ox и Oy — по касательным к линиям кривизны, проходящим через точку О. Если координату г поверхности разложить для малых значений х и у по формуле Маклорена, то уравнение поверхности будет иметь вид
v2 v2
где добавочный член tp (х, у), по крайней мере, третьего порядка относительно X н у, а р н q — оба главных радиуса кривизны поверхности в точке О. Так как материальная точка является тяжелой, то имеется силовая функция
U= -gz,
которую мы написали в предположении, что т = 1. Функция Лагранжа T имеет вид
Г=1 (л:'2 + у'2 + У 2X
где
vy' ^ дф, г р + q + дхХ + дуУ •
При малых колебаниях около рассматриваемого положения равновесия х и у остаются очень малыми; составляющие х' и у' скорости также очень малы, так как сама скорость, как мы видели (п. 267), очень мала. Мы будем рассматривать х, у, х', у' как величины одного и того же порядка. В выражении T будут тогда содержаться два члена второго порядка и третий член г'2 четвертого порядка. Мы пренебрежем им по сравнению с двумя первыми и получим
Т=\(х'2 + у'2).
Если в выражении U заменить z его значением, то разложение U начнется двумя членами второго порядка, которые мы только и сохраним, пренебрегая членами более высокого порядка. Получим
U=-
g{2p + Iq)'
Уравнения Лагранжа в применении к переменным хну, играющим роль параметров q, и q2, будут
d IdT \ дТ dU ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ
427
Но поскольку T не содержит ни X, ни у, они примут вид
(Px
g
d2y dt2
dt2 P
Эти уравнения сразу интегрируются:
х = А cos (^t + a), y = Bsin[t
/f+о.
(1)
ток 2-
где А, В, а, ?— произвольные постоянные, которые должны быть определены по начальным условиям. Таким образом, мы получили бесконечно малые колебания. Координата х принимает свое первоначальное значение через
'г—
промежуток времени 2я , а координата у — через промежу-
— . Если эти два периода соизмеримы, то горизонтальная проекция траектории будет алгебраической кривой, которая получается исключением t из уравнений (1). Траектория будет трансцендентной, если оба периода несоизмеримы. В этом случае движение обладает некоторыми своеобразными особенностями. Рассмотрим в плоскости ху прямоугольник, образованный прямыми х = ± А, у = ± В. Кривая, определяемая уравнениями (1), касается бесчисленное множество раз сторон этого прямоугольника. Так, эта кривая касается стороны х = А (рис. 167) при всех значениях t вида
У
Ґ ' о 0/7
X
t
:2ft It
(ft — целое).
Рис. 167.
Более того, траектория некоторым образом как бы покрывает всю площадь этого прямоугольника. Мы это докажем, установив, что для произвольной точки P с координатами ? и т) внутри прямоугольника существует бесчисленное множество значений t, при которых движущаяся точка подходит к P на расстояние, меньшее любого заданного числа. Пусть в самом деле, X и fi — дуги, определяемые формулами
? = A cos (X + a), Tj = В cos (|л + ?). Если переменному t придать значение вида
t — j/~~ (X + 2ft7i) (ft — целое число), движущейся точки будет равна ?, а ее ордината у будет
у = B cos (X + + + ? j ,
то абсцисса иметь вид
где ft' — произвольное целое число. По предположению, числа р и q несоизмеримы; следовательно, можно определить два целых .числа ft и ft' таким образом, что
(X 4-2itft) + 2ft'it 3.428
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
будет отличаться сколь угодно мало от любого заданного числа и, в частности, от (л.. При соответствующих значениях t координата у будет отличаться сколь угодно мало от ? cos (ц + ?), т. е. от т(, и так как при этом X будет равняться то движущаяся точка пройдет сколь угодно близко от Р.
273. Геодезические линии поверхностей вращения. Мы ставили целью составить два уравнения, не содержащих нормальной реакции, и получили в качестве таковых уравнение кинетической энергии и одно из уравнений Лагранжа. В случае движения точки на поверхности вращения мы всегда будем иметь два не зависящих от реакции уравнения, применив теорему кинетической энергии и теорему момента количества движения относительно оси вращения, так как нормальная реакция лежит в одной плоскости с осью вращения и ее момент относительно этой оси равен нулю. Приложим, в частности, этот метод к определению геодезических линий поверхностей вращения.
