Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
^ <?/+/>.
a U jrP делается отрицательным на граничной кривой С.
268. Нормальная реакция. После того как движение станет известным, для нахождения реакции достаточно будет найти X из какого-нибудь одного уравнения движения (2) (п. 262). Допустим, что точка свободно положена на поверхность, т. е. что она может сойти с нее в какую-нибудь сторону. Для того чтобы точка оставалась на поверхности, необходимо, чтобы реакция была направлена в ту сторону, куда точка может от поверхности удалиться. По одну сторону поверхности функция f(x, у, z) положительна, а по другую сторону отрицательна. Для того чтобы реакция была, например, направлена в область положительных /, необходимо, как мы это видели в статике в связи с равновесием точки на поверхности, чтобы коэффициент X был положителен. Если X в какой- ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ
421
нибудь момент обращается в нуль и меняет знак, то точка покидает поверхность и задача сводится к случаю свободной точки.
269. Естественные уравнения и нормальная реакция. Отметим на траектории, лежащей на поверхности, начало дуг А (рис. 166). Пусть M — произвольное положение движущейся точки. Проведем через эту точку касательную MT в направлении возрастающих дуг, и пусть С — центр кривизны нормального сечения поверхности, касающегося MT, R = MC—его радиус кривизны. За положительное направление нормали к поверхности мы примем направление MC. Пусть также MC—главная нормаль траектории и р = MC' — ее радиус кривизны. Обозначим через 6 угол между соприкасающейся плоскостью TMC' траектории и нормалью к поверхности. На основании теоремы Менье имеем р = R cos 6.
Проектируя направление MC на касательную плоскость, мы получим полупрямую MP, на которой мы будем рассматривать направление проекции отрезка MC' как положительное. Пусть теперь Ft, Fn, Fp-проекции силы F на прямые MT, MC, MP, a N— алгебраическое значение нормальной реакции. Мы знаем, что равнодействующая сил FaN разлагается на две силы, из которых одна
dv w— V2
равна tn-jj- и направлена по Ml, а другая равна т — и направлена по MC; эта система двух сил эквивалентна системе, образованной силами F и N. Приравнивая суммы проекций сил каждой из этих систем на оси MT, MP, MC, имеем:
dv с, mv2 . 0 „ mv2 0 „ , ., M4f = Ft, —sin8 = Fp, —cosB = Fn + N.
Этим уравнениям можно придать более простую форму. Обозначим через радиус геодезической кривизны ^ и воспользуемся найденным выше соотношением - ^ в = R. Тогда предыдущие уравнения примут вид
dv „ mv2 „ mv2 „ , .,
m4t=Ff -Ji=pV -2R=F"+N-Если имеется силовая функция, то ^-=U + А, и последняя из
предыдущих формул позволит вычислить нормальную реакцию без предварительного определения движения при условии, что известен радиус кривизны R.
Из этих уравнений можно вывести интересное следствие. Подвергнем поверхность такой деформации, чтобы длины начерченных 3.422
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
на ней линий не изменились. При таком преобразовании радиусы геодезической кривизны не изменяются. Если, следовательно, изменить силу F таким образом, чтобы не изменилась ее проекция на касательную плоскость, то первые два из написанных выше уравнений, определяющие движение, не изменятся и движение будет таким же, как и в первом случае. Изменится только нормальная реакция. Мы видим, таким образом, что траектория тяжелой точки, двигающейся на вертикальном цилиндре, получится навертыванием на этот цилиндр параболы с вертикальной осью. Точно так же траектория тяжелой точки на круговом конусе с вертикальной осью получится навертыванием на этот конус плоской траектории точки, движущейся под действием постоянной центральной силы.
270. Геодезические линии. Наиболее простым будет тот случай, когда на точку, положенную на неподвижную поверхность, не действуют никакие силы. Тогда уравнение кинетической энергии
будет d ( m^ ^ = 0; оно показывает, что скорость остается постоянной. Траектория точки будет геодезической линией поверхности, так как ее соприкасающаяся плоскость должна содержать единственную действующую на точку силу — нормальную реакцию. Это следует также и из второго естественного уравнения, которое обра-
mv0- л 1 л
щается в -=0, откуда вытекает — = 0, так как v постоянно,
P д Pg
а условие —=0 характеризует геодезические линии. Последнее естественное уравнение позволяет вычислить нормальную реакцию N = -^-. Можно заметить, что в рассматриваемом случае 6 = 0,
г. fti?
вследствие чего R = р и нормальная реакция имеет значение ——.
Она изменяется обратно пропорционально радиусу кривизны траектории.
Общие уравнения движения приводятся теперь к виду
^ d2x , df diy , df d-z , df
dt2 dx dt3 dy dt2 dz
При помощи уравнения ds = v0dt здесь можно исключить время, для
чего достаточно в предыдущих формулах заменить dt2 через ^2.
Примечание. Если поверхность имеет прямолинейные образующие, то они будут одними из возможных траекторий, так как если точку пустить по какой-нибудь образующей, то она будет продолжать двигаться по ней в силу закона инерции, а реакция поверхности будет равна нулю. глава xiii. движение точки по поверхности 423
