Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть г и 6 —полярные координаты точки M геликоида, лежащей на образующей CD. Декартовы координаты этой точки будут:
X = г cos 6, у = г sin 6, г = ?9.
27 Зак. 851. П. Аппель, т. I 3.418
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Сила, действующая на точку, равна F = ту.г и направлена по CD. Известно, что в этом случае имеется силовая функция
п г2
U = mix .
Определяя точку поверхности параметрами г и 9, которые заменяют qx
и имеем
Г = (r'2 + г30'2 + A3 9'2) =
= ^-Ir'2+ (г*+ к2) О'2].
Уравнения движения Лагранжа будут поэтому следующие:
г J
к /
У
dr'
dt
гв'2 = іхг, -^[(к2 + Г2)в'\=0.
V
Второе из этих уравнений показывает, что
(г2 + к2) в' = С.
Рис. 165.
Вместо первого уравнения воспользуемся интегралом кинетической энергии
r'2 + (Г2 + k2) 9'2 _ К2 = /г.
Исключив 9' из двух последних уравнений, получим уравнение движения по радиусу-вектору:
или
(Г2 + (If)2 = (Л + V-r2) + к2) - С.
Таким образом, t выражается через г при помощи квадратуры. Точно так же найдем, что 9 выражается через г при помощи второй квадратуры. Для этого достаточно в последнем уравнении заменить dt его значением
-1(,-2 + ^)49.
При исследовании формы кривой необходимо различать два случая в зависимости от того, положительно или отрицательно (отталкивание или притяжение). Если (X положительно, то кривая может иметь бесконечные ветви, что видно из того, что при неограниченном возрастании г вели-
чина
не перестает бьдть положительной. Наоборот, если (л. отрицательно, то г может возрастать только в некоторых пределах. В частном случае, когда = 0. точка перемещается по поверхности без непосредственно приложенной силы (по инерции). Тогда t выразится через г эллиптическим интегралом. В этом частном случае точка, как мы увидим дальше (п. 270), будет описывать геодезическую линию геликоида:
266. Вывод уравнения кинетической энергии из уравнений Лагранжа. Если поверхность неподвижна, то выражения х, у, 2 в функции Q1 и: <7з могут быть выбраны таким образом, чтобы они не содержали t явно. Тогда Г,будет однородной квадратичной функцией ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ
419
величин q^ и <7j и на основании теоремы об однородных функциях получим тождество
Q1 тт + ?2ТТ = 2Г. dq1 dq3
Установив это, возьмем оба уравнения Лагранжа
dt ( dq[ j dq, Vv
dt [ dq'2 J dq2 - ^2
и сложим их, умножив предварительно первое на q', а второе на q'r Мы получим одно уравнение, которое может быть написано следующим образом:
d In' дт дт \
дТ da[ дТ dq' дТ , дТ \
Первая скобка равна 27", а вторая равна так как T зависит
от t через q'v q'v qv qy Следовательно, предыдущее уравнение можно написать в виде
d(2T) dT п,
si—Hf = ^1 +QiQv
или, умножая его на dt, получим
dT = Q1 dqx + Q2 dq2,
что и является уравнением кинетической энергии, так как Q1dq1-(--\-Q2dq2 есть элементарная работа силы (X, Y, Z). Если Q1^1 + -\-Q2dq2 является полным дифференциалом функции Uiq1, q2), то интеграл кинетической энергии будет
T=U-\-h.
Он заменит одно из уравнений Лагранжа.
267. Устойчивость равновесия в случае существования силовой функции U. Как мы видели в статике, для нахождения значений q1 и q2, соответствующих положению равновесия точки, необходимо составить два уравнения: Q1 = O, Q2 = O. В частном случае, когда Q1 dqx + Q2 dq2 является дифференциалом функции U (qx, q2), уравнения равновесия совпадают с уравнениями, которые нужно написать при нахождении максимума или минимума функции U (qv q2).
28* 3.420
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Мы хотим доказать, следуя Лежен-Дирихле, что если для какой-нибудь системы значений qx = alt q2=a2 функция U имеет максимум, то соответствующее равновесие устойчиво. Доказательство совпадает с данным ранее (п. 208) для свободной точки. Укажем его в немногих словах. Можно всегда предполагать, что максимум имеет место при (Jf1 = 0, q2 = 0, так как это приведет к выбору новых параметров — ах и q2— а2, и что этот максимум U (0, 0) равен нулю, так как это равносильно вычитанию из U(qu q2) некоторой постоянной, что допустимо, поскольку эта функция определяется с точностью до постоянной. Согласно определению максимума, функция U будет тогда отрицательной и отличной от нуля вблизи рассматриваемого положения равновесия Р. Проведем на поверхности малую замкнутую кривую С, окружающую Р. На этой кривой функция U отрицательна и не равна нулю. Следовательно, существует такое малое положительное число р, что функция U р будет на кривой С тоже отрицательна. Сместим теперь точку из положения равновесия P в близкое положение M0, лежащее внутри С, где U принимает значение U0, и сообщим ей скорость г>0. Получим
UA--~ — и0.
Выберем начальное положение и начальную скорость так, чтобы выполнялись условия
P- —и с L-2 < 2 ' ио<Т>
что вследствие непрерывности потребует, чтобы D0 и расстояние PM0 были меньше некоторых пределов. При этих условиях точка не выйдет за кривую С и даже ее не достигнет, так как из уравнения
кинетической энергии получаем неравенство
