Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
дх ду dz на х-. -г— и сложив их, получим:
dqx dq\ dqx
/ d"-x дх , d2y ду . d2z dz \ „ ...
где
1 dqx ^ dqx dqx В этом равенстве коэффициент X1 исчез вследствие соотношения
dL dL ^L+.dL= о
дх dqx ду oqx ' dz dqx
которое выражает, что нормаль к поверхности нормальна и к кривой, которую опишет точка (3), если, сохраняя постоянными q2 и t, изменять только параметр ^1; эта кривая лежит на поверхности S. Точно так же, умножая уравнения движения (2) соответственно
дх ду dz на , -щи складывая, получим уравнение
т \ dli dqо ^ dt 2 dq, ^ dt з dq,) ~ ^2' ^ '
где
^ dq, 1 dq, dq2
Уравнения (4) и (4') и будут определять qx и q2 в функции t. Их можно написать в значительно более простой форме. Обозначим через <7j и q'2 производные от qx и q2 по t и через х', у', г' проекции dx dy dz ., ...
~dt' dt' ~dt ckoPocth точки. Уравнение (4) можно представить в виде
ІИ
—к *¦(?)+^(?)+*?)]-?- <5> 3.412
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
так как, очевидно,
/ , дх\ ,d дх\ сРх дх
Imx ^r-)— тх -п I ^-) = т-гпг—-, ... \ dqj dt\dqj dt* dq^
Ho, на основании равенств (3), х зависит от < и непосредственно и через q1 и q2, которые являются функциями от t\ следовательно,
, дх , дх , , dz
х =дЦч* + дч-*ч*+дГ- (6)
Точно так же зависит от t и непосредственно и через qx и q2\ следовательно,
d_(dx\_ д^х_ , . д-х ,
dt \dqj WTW +
dax
dq' dq.dq, 1 dq,dt '
В выражении (6) будем рассматривать x' как функцию переменных qv q2, q'v qt, t. Тогда найдем, что
дх^_ _ d? d*' _ d?x , д2х , д2х
dq[ ~~ Oql' дЧі ~ dq\ qI + dq, dq2 q2 + ~дс^дГ '
т. е.
дх' дх дх' d і дх \
Oq1
Oq1' dqi dt1
Аналогичные вычисления приводят к следующим результатам: ду'_ ду ду'_ d / ду\
~dq^~~Wi Wi~~ dt\Wj'
dq[ ~~ W' OQi ~~ dt ' Заменяя в уравнении движения (5) величины
— ^L d (дУ\ d(dz\
OQi' Wl' Wi' di\Sq[)' Wi)' dt
найденными для них сейчас значениями, получим уравнение
d dt
/ , дх' . , ду' , dz'
т \ х + У ^ + z '
\ Oq1 dq1 Oq1
или
где положено
*l*l \-*l-q ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ
413
Точно так же, преобразуя уравнение (4'), найдем
*-dJi-O
dt oq2 ~ ^2"
(7')
Уравнения (7) и (7') являются уравнениями движения по Лагранжу. Чтобы получить их, достаточно вычислить величину Т, равную кинетической энергии точки; в этой величине нужно заменить х', у', z' их значениями, такими, как (6), чтобы выразить T через qv q2, q'v q'2 и t\ после этого можно составить уравнения (7) и (7').
В этих уравнениях правые части Q1 и Q2 вычислены выше. Их можно определить еще следующим образом: сообщим точке возможное перемещение по поверхности 5, т. е. такое, которое получится, если, оставляя t постоянным, дать величинам ^1 и q2 приращения S^1 и 8q2. Проекции этого возможного перемещения на оси координат будут
Отсюда, учитывая найденные выше значения Q1 и Q2, получим для возможной силы F выражение
Таким образом, для нахождения величин Q1 и Q2 достаточно определить коэффициенты при ^ql и оq2 в выражении возможной работы силы F на произвольном перемещении, осуществляемом на поверхности 5 в положении, которое эта поверхность занимает в момент t.
Чтобы получить, в частности, Q1, нужно сообщить точке возможное перемещение, которое получится, если, оставляя постоянными q2 и t, изменить только ^1 на величину ее вариации S^1; тогда соответствующая возможная работа силы F будет Q1S^1. Точно так же, чтобы получить Q2, нужно взять возможное перемещение, при котором постоянны ^1 и t2, работа силы F будет тогда равна Q2bq2.
Если существует силовая функция U (л:, у, г) или выполняется более общее условие, согласно которому X, Y, Z являются частными производными функции U (л:, у, z, t), содержащей время, то
ArSA: + Yoy + Zbz = Q1 Iql -f- Q2 Iq2. 3.414
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Действительно, U (X, у, г, t) зависит от qx и q2 через х, у, z и, следовательно,
dqx дх dqx ду dqx dz dqx ~ dqx^~ dqx^~ dq, ~~
Аналогичное выражение получим и для Q2.
264. Приложения. 1°. Движение точки на неподвижной плоскости в полярных координатах. Найдем движение точки на плоскости хОу, приняв за параметры и q2 две полярные координаты гиб. Формулы, определяющие X, у, г в функции двух параметров, для рассматриваемого случая будут следующие:
j: = г cos 0, у = г sin 0, Z = 0.
Допустим, что на точку действует сила F, лежащая в плоскости и имеющая проекции (X, У, О). Функция T будет
а уравнения движения —
dt \дг') дг~Чь dt\W)~W
Так как qx = г, q,= в, то
Q1 = X ~ + Y ^L = X cos 0 + У sin 0, dqx dqx ^
Q4 = Xd* +Yp-dq* dq.
— Xr sin 6 + Yr cos I
Функции Q1 и Q2 можно найти и непосредственно. Обозначим через R
и P составляющие силы по радиусу-вектору в направлении возрастания г и по прямой, к нему перпендикулярной в направлении возрастания 0. На перемещении or вдоль радиуса-вектора (^2=cOnst.) работа силы F, равная сумме работ сил PkR, приводится к виду R Br, так как работа силы P равна нулю (рис. 163). Следовательно,
Qx=R.
Точно так же для возможного перемещения, которое получается, если предположить, что qx, т. е. г, остается постоянным, а 6 изменяется, и которое происходит по окружности радиуса OM и равно г В6, работа силы F сводится к работе силы P и равна Pr В0. Имеем, следовательно Q=pr
