Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 164

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 158 159 160 161 162 163 < 164 > 165 166 167 168 169 170 .. 205 >> Следующая


Z=-Iky (г),

где к — заданная постоянная;

2) что она испытывает, кроме того, сопротивление, пропорциональное скорости. Результат применить к случаю, когда

<р (г) = U2-nZn — а? = аъ~п(гп — ап),

где а — заданная длина.

Исследовать частный случай, когда отсутствует начальная скорость, и определить время, необходимое точке для достижения положения S=O, соответствующего г = а. Рассмотреть случай, когда п = 2. (Лиценциатская.)

11. Найти плоскую таутохрону для точки, притягиваемой неподвижным центром, лежащим в плоскости таутохроны, с силой, пропорциональной расстоянию г (п. 252).

Требуется найти кривую, для которой г dr = ks ds. Рассматривая кривую как огибающую движущейся прямой

X COS а — У sin а = <р' (а),

получим для определения функции <р (а) линейное уравнение с постоянными коэффициентами

(1 — ft3) <fff(a) — k<f(a) = 0.

Это уравнение интегрируется в тригонометрических или показательных функциях. В первом случае имеем эпициклоиду, (П ю и з ё, Journal de Liouvillej т. IX.) ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ

407

12. Задача Абеля. Определить кривую, лежащую в вертикальной плоскости и обладающую следующим свойством: на этой кривой существует такая неподвижная точка О, что тяжелая точка, пущенная без начальной скорости по кривой из начального положения, находящегося на высоте h над О, приходит в точку О за время Т, являющееся наперед заданной функцией T = ср (h).

[Пусть S = ф (г) — соотношение между дугой OM кривой, отсчитываемой от точки О, и ординатой точки М. Имеем

о '

Пусть и — вещественная переменная, большая чем h. Абель умножает обе dh

части равенства на —==. и интегрирует по Л от 0 до и: у и — h

YTg f ? {h) dh = f dh f v {z)dz

J Yti- h J Yu- h J Yh- z

Of n ' Of

Переменив порядок интегрирования в правой части, найдем для интеграла этой части значение тсф (и). Искомая функция будет выражаться определенным интегралом, содержащим заданную функцию ср. Например, если ср (Л) = const., то опять получится циклоида.]

13. Определить таутохрону для тяжелой точки в вертикальной плоскости, принимая во внимание трение и сопротивление среды, пропорциональное Vя. (Задача приводится к линейному уравнению относительно t/2.)

14. Задача Эйлера и Саладини. Какую кривую нужно провести в вертикальной плоскости из точки О, чтобы тяжелая точка, пущенная по этой кривой из О без начальной скорости, пришла в произвольное положение M на этой кривой за то же время, какое ей потребовалось бы, если бы она скользила вдоль хорды ОМ? (Получается лемниската; Эйлер, т. II его Механики, 1736; Саладини, Memoires de l'Istituto nazionale italiano, 1804; см. статью Фуре «Bulletin de la Societe mathematique», т. XX.)

15. Задача Бонне. Доказать, что найденная в предыдущем упражнении лемниската будет обладать тем же свойством, если вес заменить силой притяжения к точке О, пропорциональной расстоянию (Journal de Mathematique pures et appliquees, т. IX, стр. 116).

16. Задачи Фуре. 1°. Материальная точка, находящаяся в плоскости под действием силы, имеющей определенную силовую функцию, выходит из начала О с заданной начальной скоростью. Найти систему подобных кривых (С), проходящих через начало О, причем таких, чтобы точка, двигающаяся по какой-нибудь из этих кривых, описывала, начиная от точки О, любую дугу в такое же время, какое ей понадобилось бы для пробега соответствующей хорды.

2°. Дана на плоскости система кривых (С), проходящих через точку О и гомотетичных относительно этой точки. Найти силу, имеющую силовую функцию, под действием которой движущаяся точка, получив заданную начальную скорость, описывает, начиная от точки О, произвольную дугу любой из кривых (С) за то же время, какое ей потребовалось бы для описания соответствующей хорды. 3.408

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ

Первая из этих задач имеет решение лишь при условии, что начальная скорость равна нулю и что силовая функция в полярных координатах имеет

где k — произвольная постоянная.

Вторая задача также невозможна, если начальная скорость не равна нулю. Если уравнение кривой имеет вид г = ku> (0), то силовая функция получится, если в написанном выше выражении, в котором ф — произвольная функция, положить

(Фуре, Comptes rendus, т. СШ, стр. 1114 и 1174; Journal de ГЕсоїе Poly-technique, вып. 56.)

17. Синхронные кривые и поверхности. В плоскости дано семейство проходящих через точку О кривых С, уравнения которых зависят от одного параметра. В момент t = 0 по каждой из этих кривых из точки О начинают двигаться одинаковые материальные точки с одинаковой для всех заданной начальной скоростью V0, находящиеся под действием силы, имеющей заданную силовую функцию. Найти кривую S, представляющую собою геометрическое место этих точек в один и тот же момент t.

Эти кривые S образуют семейство, зависящее от параметра t; их называют кривыми, синхронными первым.

Если кривые С, проходящие через точку О, расположены в пространстве и зависят от двух параметров и если пустить по этим кривым в момент ? = 0 со скоростью U0 материальные точки, находящиеся под действием сил, имеющих данный потенциал, то геометрическим местом таких точек к моменту t будет поверхность S, называемая синхронной поверхностью.
Предыдущая << 1 .. 158 159 160 161 162 163 < 164 > 165 166 167 168 169 170 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed