Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Если оба вектора, R2 и R3, и точка О расположены в одной плоскости, то в качестве OL может быть взята любая прямая этой плоскости, проходящая через точку О.
Существует бесчисленное множество способов приведения заданной системы векторов к двум векторам. Заметим прежде всёго, что можно изменять векторы F и Ф без изменения точек О и О' их приложения. Вообразим, в самом деле, что к двум концам отрезка OO' приложены два равных и прямо противоположных вектора /и —/. Два вектора Fuf, приложенные в точке О, можно 36
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
сложить и привести к одному вектору S и два вектора Фи —/, приложенных в точке О', — к одному вектору Е. Система двух векторов F и Ф заменилась, таким образом, эквивалентной системой двух векторов S и 2. Вектор E расположен в определенной плоскости — в плоскости, проходящей через точку О и вектор Ф. Точка приложения О вектора S является произвольной. Закрепив эту точку, можно перемещать произвольным образом точку О' по прямой О'Ъ и, следовательно, также по всей плоскости OO'Ф, так как модуль вектора —/ произволен.
В общем случае два вектора F и Ф, эквивалентные всем заданным векторам, не лежат в одной плоскости.
Главный вектор и главный момент первоначальной системы относительно произвольной точки равны главному вектору и главному
моменту системы двух векторов относительно той же точки (рис. 19). Например, если взять какую-нибудь точку А на линии вектора F, то главный вектор AR в точке А получится путем сложения вектора AF', геометрически равного вектору F, и вектора АФ', геометрически равного вектору Ф. Главный момент AG относительно точки А равен моменту вектора Ф, так как момент вектора F равен нулю. Вектор AG будет перпендикулярен плоскости АО'Ф и точка А будет ее фокусом (п. 17).
Следовательно, фокуе плоскости, проходящей через один из векторов F или Ф, расположен на другом векторе, и эти векторы лежат на двух сопряженных прямых D и Л.
Любая прямая, пересекающая одновременно линии действия векторов F и Ф, является, очевидно, прямой нулевого момента. Наоборот, если какая-нибудь прямая нулевого момента пересекает линию действия вектора F, то она пересекает также и линию действия вектора Ф на конечном или бесконечном расстоянии, так как поскольку момент вектора F относительно этой прямой равен нулю, то и момент вектора Ф относительно нее должен также равняться нулю.
В разделе упражнений будет показано, что систему векторов можно всегда привести к таким двум векторам, из которых Ьдин лежит на произвольной прямой, не параллельной главному вектору.
21. Геометрическое истолкование инварианта LX+ MY + NZ. Обозначим через X', Y', Z', L', M', N', X", Y", Z", L", М", N" проекции н моменты двух векторов F и Ф, эквивалентных заданной системе. Имеем:
X = X' + X", L = L' + L", ... ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
•37
Принимая во внимание установленное ранее (п. 12) выражение для взаимного момента двух векторов, получим:
LX + MY + NZ = (L' + L")(X' + X")+ ... =6 объем. (F, Ф),
что позволяет дать замечательное геометрическое истолкование инварианта
LX+ MY+NZ.
Пусть P1, P3.....Pn — первоначальные векторы предложенной системы.
Имеем соотношения
X = IlXkt L = ILk..........(1)
LuXu +MuYu +NuZu = 0. (2)
В силу соотношений (1) и тождества (2) находим также LX+ MY+ NZ = I' (LiXu + MiYu + NiZu + LuXi + MuYi + NuZi),
где сумма в правой части распространена на все парные сочетания индексов I и к. Но выражение под знаком 2' есть взаимный момент векторов Pi и Pu и, следовательно,
LX + MY + NZ = Е'6 объем. (Pi, Pu),
где во второй части число членов равно —^——. Полученные формулы
показывают, что, каким бы способом ни были приведены векторы Pu к двум векторам F и Ф, объем тетраэдра (F, Ф) будет постоянным и равным алгебраической сумме объемов тетраэдров, полученных путем парных сочетаний векторов Pu (Шаль). Для того чтобы два вектора F и Ф находились в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы объем тетраэдра Шаля равнялся нулю.
22. Приведение двух эквивалентных систем друг к другу.
Рассмотрим сначала систему (S), эквивалентную нулю. Тогда два вектора F и Ф, к которым мы можем привести систему, будут также эквивалентны нулю, т. е. эти векторы, как было показано ранее (п. 18), будут равны и прямо противоположны. Тогда можно эти векторы отбросить и таким образом привести систему (S) к нулю.
Пусть теперь предложены две системы векторов (S) и (S0)1 эквивалентные между собой. Тогда эти системы могут быть приведены одна к другой при помощи элементарных операций. В самом деле, будем исходить из системы (S) и присоединим к ней систему (S0) (—S0), образованную векторами (S0) и векторами, им равными и прямо противоположными. Это, очевидно, — одна из элементарных операций, повторенная некоторое число раз. Совокупность систем (S) и (—S0), будучи эквивалентна нулю, может быть приведена к нулю при помощи элементарных операций. После этого останется система (S0), что и доказывает предложение.
23. Пары. 1°. Определение. Парой, по Пуансо, называют совокупность двух векторов P и —Р, равных по модулю, параллельных и противоположно направленных. Расстояние AB (рис. 20) называется плечом пары, а произведение AB • P плеча на модуль 38 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
