Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
9. Найти движение точки, притягиваемой плоскостью пропорционально расстоянию.
10. Определить движение точки, находящейся под действием силы, параллельной оси Oz и имеющей выражение
(Ах +Ву-гСг + D)*
г ли
(Ах* + 2 Bxy + Cy2 + 2Dx + 2 Ey + Ff3
где [л., А, В, С, D, Е, F—постоянные.
Ответ. Траектории — конические сечеиня, каковы бы ии были начальные условия.
11. Найти движение тяжелой точки в сопротивляющейся среде при законе сопротивления R, определяемом формулой
R = mg(A + B\nv),
где А и В — постоянные.
Этот закон можно рассматривать как предельный случай принятого в тексте закона
R = mg (a + bvn).
В В
Для этого достаточно положить а = А--, b = — и заставить п стре-
п п
миться к нулю.
12. Завершить вычисления в тексте п. 219, полагая л=1 и а «= -i.
Можно выполнить все квадратуры.
13. Тяжелая точка движется в сопротивляющейся среде. Доказать, что если R обозначает сопротивление, то между ординатой у и абсциссой х точки траектории существует соотношение
^y __ 2gR
dx3 Vі COS3 а '
где V—скорость и а — угол между касательной и горизонталью Ох.
В частности, если сопротивление пропорционально Vі, то дифференциальное уравнение траектории будет
dx* соь" a L 1 \dx) J
(Де Спарр, Comptes Rendus, 23 и 30 мая 1892 и MfemoriaI de !'Artillerie de la Marine, 1892.)
14. Найти движение тяжелой точки в сопротивляющейся среде пря сопротивлении, пропорциональном кубу скорости.
Эта задача может быть разрешена в эллиптических функциях. (См. Аппель и Лякур, Principes de Ia theorie des fonctions elliptique, стр. 225; см. также две статьи де Спарр а, Bulletin de la Socifete mathema-tique, 1900 и 1901.)ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 323"
15. Точка движется в плоскости хОу под действием силы с составляющими
у du Y_dU
где U — функция от X .и у. Доказать, что уравнения движения имеют первый интеграл
dx dy ,. m-dtdt=U + h¦
16. Точка движется в плоскости хОу под действием силы, составляющие которой X и Y являются функциями от X и у, удовлетворяющими условиям
__dY_ cLY _ dK
ду ~ дх ' дх ду
Доказать, что интегрирование уравнений движения может быть выполнено в квадратурах.
Ответ. В этом случае величина X IY является функцией ср (г) комплексной переменной г = X + Iy. Оба уравнения движения можно свести в одно
tPz dt»
и интегрирование приводится к двум последовательным квадратурам, из которых первая
¦(»Mt ):-/?«><*¦
а вторая определяет t, в функции г. (Л е корню, Comptes Rendus, т. Cl, стр. 1244; Journal de l'Ecole polytechnique, вып. LV.)
17. В более общей постановке, если
дХ _ dY дХ _dY a~dj~bdx ' ду '
где а и Ъ — постоянные, интегрирование уравнений движения приводится к квадратурам.
Ответ. Этот случай приводится к предыдущему при помощи подстановки
X=±YbX', Y=VzrGY', X = Ybx', y = Y~ay\
18. Точка движется в пространстве под действием силы, составляющие которой X, Y, Z являются функциями от X, у, г, удовлетворяющими соотношениям
дХ = dY _ dZ dX = dY_ = dZ^ дХ = dY = dZ дх ~ ду ~ dz ' ду ~ dz ~ дх ' dz ~ дх ~ ду '
Доказать, что интегрирование уравнений движения приводится к квадратурам.
Ответ. Обозначая через а и комплексные кубические корни из единицы и полагая
X + У + г = р, X -f- ay + а'г = q, х + а'у + uz = г; X+Y+Z = P, X+ aY+a*Z = Q, X+a?Y+aZ=R,3.324
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
райдем> что P есть, функция только от р, Q—только от q и /? ^'только от г. Тогда уравнения движения эквиваленты трем следующим:
aiP о cpQ г, d2r D
каждое Из которых интегрируется в квадратурах. Пример:
Х=х2 + 2yz, Y=Z2 + 2ху, . Z = у2 + Izx.
(Coraptes Rendus1 19 марта 1877.)
19. Если дана материальная точка, находящаяся под действием силы, зависящей только от положения, то интегралы дифференциальных уравнений движения остаются вещественными при замене t значением t У—1 и проекций Xq, Уд, Zq начальной скорости значениями —XqV—1> —Уо V —1 • — z'q V—1 • Полученные таким образом новые выражения являются уравнениями нового движения, которое будет совершать та же самая материальная точка, если при тех же начальных условиях на нее будет действовать сила, равная и противоположная той, которая вызвала первое движение. (Coraptes Rendus, 30 декабря 1878.) ¦ , .
20. Тяжелая материальная точка движется в сопротивляющейся среде, сопротивление R которой является функцией скорости V и предполагается направленным в сторону, противоположную скорости v: R = mgy (»). Допустим, кроме того, что функция ср (V) непрерывна, положительна и возрастает вместе с v. Доказать следующие общие предложения:
1°. Если ср (0) > 1, то точка за конечный промежуток времени описывает конечную дугу траектории, заканчивающуюся в точке, где касательная вертикальна и куда движущаяся точка приходит со скоростью, равной нулю. После этого движущаяся точка остается в покое, так как если она будет стремиться начать движение, то возникающее сопротивление будет больше веса. (Этот случай может, например, представиться при движении с трением тяжелой точки по наклонной плоскости.)