Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 133

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 205 >> Следующая


9. Найти движение точки, притягиваемой плоскостью пропорционально расстоянию.

10. Определить движение точки, находящейся под действием силы, параллельной оси Oz и имеющей выражение

(Ах +Ву-гСг + D)*

г ли

(Ах* + 2 Bxy + Cy2 + 2Dx + 2 Ey + Ff3

где [л., А, В, С, D, Е, F—постоянные.

Ответ. Траектории — конические сечеиня, каковы бы ии были начальные условия.

11. Найти движение тяжелой точки в сопротивляющейся среде при законе сопротивления R, определяемом формулой

R = mg(A + B\nv),

где А и В — постоянные.

Этот закон можно рассматривать как предельный случай принятого в тексте закона

R = mg (a + bvn).

В В

Для этого достаточно положить а = А--, b = — и заставить п стре-

п п

миться к нулю.

12. Завершить вычисления в тексте п. 219, полагая л=1 и а «= -i.

Можно выполнить все квадратуры.

13. Тяжелая точка движется в сопротивляющейся среде. Доказать, что если R обозначает сопротивление, то между ординатой у и абсциссой х точки траектории существует соотношение

^y __ 2gR

dx3 Vі COS3 а '

где V—скорость и а — угол между касательной и горизонталью Ох.

В частности, если сопротивление пропорционально Vі, то дифференциальное уравнение траектории будет

dx* соь" a L 1 \dx) J

(Де Спарр, Comptes Rendus, 23 и 30 мая 1892 и MfemoriaI de !'Artillerie de la Marine, 1892.)

14. Найти движение тяжелой точки в сопротивляющейся среде пря сопротивлении, пропорциональном кубу скорости.

Эта задача может быть разрешена в эллиптических функциях. (См. Аппель и Лякур, Principes de Ia theorie des fonctions elliptique, стр. 225; см. также две статьи де Спарр а, Bulletin de la Socifete mathema-tique, 1900 и 1901.) ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 323"

15. Точка движется в плоскости хОу под действием силы с составляющими

у du Y_dU

где U — функция от X .и у. Доказать, что уравнения движения имеют первый интеграл

dx dy ,. m-dtdt=U + h¦

16. Точка движется в плоскости хОу под действием силы, составляющие которой X и Y являются функциями от X и у, удовлетворяющими условиям

__dY_ cLY _ dK

ду ~ дх ' дх ду

Доказать, что интегрирование уравнений движения может быть выполнено в квадратурах.

Ответ. В этом случае величина X IY является функцией ср (г) комплексной переменной г = X + Iy. Оба уравнения движения можно свести в одно

tPz dt»

и интегрирование приводится к двум последовательным квадратурам, из которых первая

¦(»Mt ):-/?«><*¦

а вторая определяет t, в функции г. (Л е корню, Comptes Rendus, т. Cl, стр. 1244; Journal de l'Ecole polytechnique, вып. LV.)

17. В более общей постановке, если

дХ _ dY дХ _dY a~dj~bdx ' ду '

где а и Ъ — постоянные, интегрирование уравнений движения приводится к квадратурам.

Ответ. Этот случай приводится к предыдущему при помощи подстановки

X=±YbX', Y=VzrGY', X = Ybx', y = Y~ay\

18. Точка движется в пространстве под действием силы, составляющие которой X, Y, Z являются функциями от X, у, г, удовлетворяющими соотношениям

дХ = dY _ dZ dX = dY_ = dZ^ дХ = dY = dZ дх ~ ду ~ dz ' ду ~ dz ~ дх ' dz ~ дх ~ ду '

Доказать, что интегрирование уравнений движения приводится к квадратурам.

Ответ. Обозначая через а и комплексные кубические корни из единицы и полагая

X + У + г = р, X -f- ay + а'г = q, х + а'у + uz = г; X+Y+Z = P, X+ aY+a*Z = Q, X+a?Y+aZ=R, 3.324

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ

райдем> что P есть, функция только от р, Q—только от q и /? ^'только от г. Тогда уравнения движения эквиваленты трем следующим:

aiP о cpQ г, d2r D

каждое Из которых интегрируется в квадратурах. Пример:

Х=х2 + 2yz, Y=Z2 + 2ху, . Z = у2 + Izx.

(Coraptes Rendus1 19 марта 1877.)

19. Если дана материальная точка, находящаяся под действием силы, зависящей только от положения, то интегралы дифференциальных уравнений движения остаются вещественными при замене t значением t У—1 и проекций Xq, Уд, Zq начальной скорости значениями —XqV—1> —Уо V —1 • — z'q V—1 • Полученные таким образом новые выражения являются уравнениями нового движения, которое будет совершать та же самая материальная точка, если при тех же начальных условиях на нее будет действовать сила, равная и противоположная той, которая вызвала первое движение. (Coraptes Rendus, 30 декабря 1878.) ¦ , .

20. Тяжелая материальная точка движется в сопротивляющейся среде, сопротивление R которой является функцией скорости V и предполагается направленным в сторону, противоположную скорости v: R = mgy (»). Допустим, кроме того, что функция ср (V) непрерывна, положительна и возрастает вместе с v. Доказать следующие общие предложения:

1°. Если ср (0) > 1, то точка за конечный промежуток времени описывает конечную дугу траектории, заканчивающуюся в точке, где касательная вертикальна и куда движущаяся точка приходит со скоростью, равной нулю. После этого движущаяся точка остается в покое, так как если она будет стремиться начать движение, то возникающее сопротивление будет больше веса. (Этот случай может, например, представиться при движении с трением тяжелой точки по наклонной плоскости.)
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed