Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
3. Пусть X = f{t, jr0, u0) — уравнение движения, вызванного силой
зависящей только от положения точки, причем х0 и v0—начальные абсцисса и скорость. Доказать, что другая точка с той же массой, абсцисса которой равна
X1 =f (at, X0, ij»),
где а — постоянная, движется под действием силы X1 = а"*Х, если начальная абсцисса и скорость равны Jr0 и vO-
В частности, если а = V—1, то точка, движение которой задается формулой
xI= fit V=T, - K0 у=1),
движется под действием силы Xi Применить к случаям
= — X (Comptes Rendus, 30 декабря 1878).
3.320 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
4. Показать, что если закон таутохронного движения входит в формулу Лагранжа, то при присоединении к действующей силе сопротивления, пропорционального скорости, по-прежнему получится таутохронное движение.
5. В прямолинейном движении выразить скорость V в функции X и X0 так, чтобы соответствующее движение было таутохронным.
Ответ. Приняв точку таутохронности за начало, предположим, что скорость написана в следующей форме:
1 1
?(х* І
X
где 5 обозначает отношение —. Это выражение v должно, по предположено
нию, обращаться в нуль при х = х0, т. е. при 5=1. Время, затрачиваемое точкой для достижения начала, равно
x і
Т=— /?(*<>. S)dx = — f х0<р(.Af0, 5) Л, о о
где X заменен через Jf0S. Так как интеграл T не зависит от Jtr0, то его производная
f d[x0<f(x0,5)1 dc
О J dxO
дТ dxL
о
должна равняться нулю. Обозначим через 0 (х0, 5) интеграл
дх0
о
так что
a [JfoT (Jf0- Є)] _ dB (Jf0, ?)
/
дх0 ді
(1)
Функция 0 обращается в нуль при 5 = 0, и условие таутохронности заключается в том, что 0 должна обращаться в нуль также и при 5=1. Наоборот, если 0 есть произвольная функция от Jf0 и 5, обращающаяся в нуль при
5 = 0 и 5 = 1, то интеграл -з— равен нулю. Интегрируя уравнение (1) по Jf0
Ox0
и рассматривая 5 как переменную, не зависящую от jtr0, получим
о
*o«P(*b. «) = / ^?" ^0 +MS),
где X (5) — произвольная функция от 5, а а — произвольная постоянная. Следовательно, для V получается выражение
.. _ хо
JdH Jf0-S)
д?
rfjf0+ X (5) ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 321"
где 0 — произвольная функция от х0 и Е, подчиненная единственному .условию, что она обращается в нуль прн S = Oh ? = 1. После квадратуры надо заменить 5 через xjx0. Так как скорость должна обращаться в нуль при 5=1 и должна оставаться конечной, то требуется, кроме того, чтобы знат менатель* обращался в бесконечность при і = 1 и был отличен от нуля нри изменении 5 от 1 до 0.
После того как v будет найдено в функции х и х0, для нахождения
dv
закона силы достаточно будет исключить X0 из v и из что можно будет
сделать лишь при определенном выборе функции 0 (.K0, ?). Таким путем полу-
dv ,, . чим = f(x, v), и для силы получим
с dv
F = mv = mv f(x, v).
Например, если 0 тождественно равно нулю, то мы опять придем к случаю, когда дифференциальное уравнение движения однородно относительно х и v. Бертран уже давно заметил, что общая формула прямолинейного тауто-хронного движения должна содержать произвольную функцию от двух переменных.
6. Таутохронные движения (неї о л Гишара). Рассмотрим произвольные таутохронные движения. Движущаяся точка выходит из положения х0 и приходит в начало координат за промежуток времени, который мы можем принять равным единице. Скорость V0 точки в начале координат изменяется с изменением х0. Возьмем обратное движение; точка выходит из начала в момент ^ = Oc переменной начальной скоростью V0; она достигает положения х0, изменяющегося вместе с V0 к моменту времени t = 1. Для этого движения имеем
V = (1-0/(*. V0), (1)
где / обращается в V0 при t = 0; более того, / положительно при всяком V0 и при t, заключенном между 0 и 1. Отсюда, обозначая через ^ ускорение, получим:
Jf = /(i — t)f(t,v0)dt, (2)
о
7 = 0-0//(*. »o)-/(<. »о)- <3>
Из формул (1) и (2) находим t и i»0 и подставляем в формулу (3); тогда получим тг = П (х, V). Полагая, наконец, F = — mil {х, v), получим тауто-хронное движение.
7. Найти силы, под действием которых происходят следующие движения:
X X
X"*
8. Точка, совершающая прямолинейное движение, находится под действием только силы сопротивления R = OTtf (t»), являющейся непрерывной функцией скорости V, существенно положительной и возрастающей вместе с v. Доказать: 1) если ср (0) отлично от нуля, то точка в течение конечного промежутка времени, описав конечный путь, остановится; 2) если ср (0) равно нулю и притом так, что произведение v~n<f(v) стремится к отличному от
= X0 COS Г + t»o Sitl г, = X0 COS t + V0 sin t + gt2,
= -^ +(X0 + v0O2. -^o 3.322
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
нуля пределу, когда v стремится к нулю, то точка останавливается, если п меньше единицы, и продолжает неограниченно двигаться со стремящейся к нулю скоростью, когда п равно или больше 1; в этом втором случае путь, пройденный точкой, будет конечным, если п меньше 2, и бесконечным при л, равном или большем 2.
