Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда X, Y, Q будут равны нулю и общие уравнения движения (1) принимают вид:
d"*x „ „ dy
т
dt* dt у
= вР-
dt? d?z dt*
+ bZ
dt dx dt
= bR,
(4)
где коэффициенты постоянны. Возьмем за начало координат начальное положение движущейся точки в момент t = 0. Обозначая через р, г и о> постоянен bR bZ
ные
-, получим после первого интегрирования:
dx dt
dt dz dt
= pt+<*y + a, = — ax + b, = rt + c,
(5)
где a, b, с — постоянные интегрирования, равные проекциям начальной скорости на оси. Далее исключение у приводит к линейному уравнению
dfl ^ v
0>2
= 0,
в котором за неизвестную можно принять величину X--
(I)
рого получается
и из кото-
(6) 3.318
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
где А и а — новые постоянные. После этого из первого уравнения (5) имеем У = + Лс08(о,* + а). (6')
Постоянные А и а таковы, что Jt и у обращаются в нуль при t = 0. Интегрируя третье из уравнений (5), получим
г= I rfl+ ct.
Таким образом мы получили уравнения движения в конечной форме.
Движение можно рассматривать как составленное из равномерного кругового движения и параболического движения с постоянным ускорением, параллельным оси Oz. В самом деле, если положить
(7>
Jt2 = A sin (arf-f а), у2 = A COS (ш*-|-а), Z2 = 0, (8)
то можно написать
X = X1-JrX2, у=у1+у2> Z=Z1-IrZ2.
Точка M1 с координатами Jt1, ylf Z1 совершает параболическое движение в плоскости, параллельной плоскости zOy, с постоянным ускорением, равным г и параллельным оси Oz. Точка M2 с координатами Jto, у2 Z2 описывает
В ПЛОСКОСТИ JtOy ОКРуЖИОСТВкС»
радиуса А с центром в точке О, С угловой скоростью U). Положение точки к моменту времени t может быть получено путем построения результирующей векторов OM1 и OM2, т. е. путем проведения через точку Al) вектора M1M,' равного и параллельного вектору OMi (рис. 143).
Движение точки M можно тогда представить следующим образом: круг С постоянного радиуса А с центром в точке Mlt параллельный плоскости ху, совершает поступательное параболическое движение с постоянным ускорением, а точка M равномерно описывает окружность этого круга по тому же закону, по которому точка M2 описывает окружность C0.
Изменяя постоянные р, г, о) или Р, R, Z, мы получим частные случаи, приводящие к изящным результатам. Если R = 0, т. е. если электрическое поле перпендикулярно магнитному, то г= 0 и точка M1 совершает прямолинейное равномерное движение. Получающаяся в общем случае парабола заменяется сейчас прямой и в зависимости от начальных условий можно в частных случаях получить в качестве траектории винтовую линию, циклоиду и т. д.
Третий частный случай. Исследования Штёрмера о полярных сияниях. На основании пдей, высказанных в 1896 г. Биркеляидом и в 1900 г. Арреииусом, некоторые физики пришли к мысли, что полярные сияния H соответствующие магнитные возмущения вызываются электрическими частицами (катодными или сходными с ними лучами), приходящими из пространства и движущимися по траекториям, определяемым действием земного магнетизма. ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 319"
Задача вычисления этих траекторий упрощается, если предположить, что частицы очень далеки от Земли, примерно на расстоянии более миллиона километров. Тогда можно рассматривать магнитное поле Земли как образованное одним элементарным магнитом, помещенным в центре Земли, ось которого совпадает с земной осью. Именно при таких упрощающих предположениях задача рассматривалась Карлом 111тёрмером в статье, помещенной в Archives des Sciences physiques et naturelles de Qen?ve, т. XXIV, 1907. Штёрмеру удалось получить важные результаты без интегрирования уравнений задачи. Ему, в частности, удалось объяснить некоторые существенные моменты опытов Биркелянда и более новых опытов Вилляра. Недостаток места не позволяет нам изложить здесь эту теорию, требующую длинных вычислений.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти прямолинейное движение точки, притягиваемой неподвижным центром с силой, обратно пропорциональной кубу расстояния: X =— .
Ответ.
*2 = --^ + (*о + Ко1)\
xO
2. Найти прямолинейное движение точки между двумя притягивающими центрами, например центрами Земли и Луны, предполагаемыми неподвижными и притягивающими с силами, обратно пропорциональными квадрату расстояния.
Ответ. Обозначая расстояние между обоими неподвижными центрами через а и принимая один из них за начало координат, имеем
_ mk* mk'2 ^ + {а — xf '
В рассматриваемом случае между обоими центрами имеется положение неустойчивого равновесия Е. Если точка не находится в этом положении и ей сообщается начальная скорость в направлении этого положения, достаточно большая для того, чтобы она прошла через это положение, то она упадет во второй притягивающий центр. Если скорость точки обратится в нуль до того, как она достигнет положения Е, то она упадет в первый притягивающий центр. Если, наконец, алгебраическое значение скорости обращается в нуль в точке Е, то движущаяся точка неограниченно приближается к ? со скоростью, стремящейся к нулю, но никогда этого положения не достигнет.
