Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
2 пип-па 2™ Un'
(1_|_ц2)» (1+ц2)»
где показатель п' положителен, так как а меньше 1. Подставляя это значе-1
ние q в выражение для —, найдем
2П и
Vn
О + "2)"
_пЬ_ Г (1 + Wdtt
2" J ип +1
Когда п целое, квадратура может быть выполнена. Это выражение легко-поддается разложению в ряд.
Замечание по поводу интегрирования уравнения (3). Мы видели, что задача приводится к квадратурам, если из уравнения (3) удается определить v в функции а. Поэтому представляет интерес исследовать это уравнение и указать случаи интегрируемости. Это сделал Сиаччи в двух статьях в Com-ptes Rendus, т. CXXXII и CXXXIII, 1901. С другой стороны, для выполнения интегрирования можно привести уравнение (3) при помощи подстановки*).
V [sin Ot -J— ср (і/)] ==
к уравнению
u = v it2 (v) -I]* — [2т (V) + Vf' (i/)] Jfl,
т. е. к виду
= C0*3 + Ci*3 + с2г + с3,
Исследованному многими авторами (Рожер Лиувилль, Comptes Rendus, 6 сентября, 1886; Ann ель, Sur Ies invariants de quelques 6quations diff€ren-tielles, Journal de Jordan, т. 5, 1891; П e н л ё в е, Annales de l'Ecole Normale superieure, т. VIII, 1891; Эллиот, там же, т. VII, 1890). Следует отметить также работы Драха, определившего все виды функции if (v), при которых уравнение (3) интегрируется в квадратурах (Comptes Rendus, 1914).
220. Движение легкого вращающегося шара в воздухе. Карьер исследовал экспериментально траектории в воздухе легких однородных сферических ядер, вращающихся вокруг оси, перпендикулярной плоскости траектории центра. Он установил вид различных траекторий в зависимости от величины и направления вращения. Результаты даны в статье в Journal de Physique th6orique et appliqu6e, т. V, 1916. Существенным является то, что при постоянном вращении получаются траектории, которые вместо вертикальных асимптот, как это было выше, имеют асимптоты, наклоненные в ту или иную сторону, в зависимости от направления вращения. Причину этих отклонений следует искать главным образом в трении о воздух поверхности ядра. Это трение вызывает элементарные действия, которые, ^будучи перенесены параллельно самим себе в центр тяжести, имеют равнодействующую, зависящую от направления и скорости вращения. Вид траекторий,
*) См. А п п е л ь, Archiv der Mathematik und Physik, т. 5, 1903. 3.314
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
найденный Карьером, можно объяснить, если принять следующую гипотезу о полном эффекте сопротивления и трения воздуха *):
Движение центра тяжхсти будет таким, как если бы точка с массой т, равной всей массе ядра, находилась под действием своего веса mg и сопротивления R = mg<f (v), возрастающего вместе со скоростью v точки, но не направленного в сторону, противоположную скорости, а образующего с вектором, противоположным скорости v, острый угол ф, положительный или отрицательный, в зависимости от направления угловой скорости вращения а>. Угол ф возрастает вместе с и> и обращается в нуль при M = O **).
Эта гипотеза указывает на то, что сопротивление R, которое при м = 0 прямо противоположно скорости V, отклоняется вследствие вращения в сторону, противоположную направлению вращения, на острый угол ф, являющийся возрастающей функцией угловой скорости м и обращающийся в нуль при о>=0. На малом участке траектории скорость м и угол ф остаются приблизительно постоянными.
Обозначая, как и раньше, через а угол между v и Ox и приняв те же оси, что и на рис. 141, получим при R = mgy(v) уравнения движения:
d (v COS a) d (v sin а) / ч , / I іч
•-Л-- — — St (f) cos (а + ф), --—-'- = — ?<р (V) sin (а-+ ф) — g,
откуда, исключая dt, получим дифференциальное уравнение годографа [<р (v) Sin ф — COS a] dv = V [<р (v) COS ф — Sin а] da,
определяющее V в функции а, если ф рассматривать как постоянную. Это уравнение при ф = 0 переходит в классическое уравнение.
В частном случае, когда сила R пропорциональна скорости v,
Г, v
Я = mS у ,
уравнения движения приводятся к линейным уравнениям, определяющим координаты X и у в функции t.
Случай, когда мгновенное вращение шара имеет произвольное направление. В предыдущих экспериментах ядро вращалось вокруг оси, перпендикулярной плоскости траектории. Производились также эксперименты, в которых мгновенная ось вращения имела произвольное, но известное направление. В этом случае траектория была, вообще говоря, пространственной кривой. Предполагается, что та же самая гипотеза относительно Полного эффекта сопротивления среды может быть сделана и для такого рода движений. Сопротивление R = mgy (v) вместо того, чтобы быть
противоположным, вектору скорости v центра тяжести G, имеет на-
правление, которое находится поворотом вектора — v на острый угол ф вокруг оси Gu мгновенного вращения шара в сторону, противоположную этому вращению-, этот угол ф является возрастающей функцией от мгновенной угловой скорости и> и обращает в нуль при ы = 0. Таким образом, если ось мгновенного вращения касательна к траектории или угловая скорость равна нулю, то сопротивление будет противоположно скорости.
