Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 128

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 205 >> Следующая


dt __ 1 у da g cos а '

определяющее dt, показывает, что когда а больше, чем — тг/2, про-изводная отрицательна и с уменьшением а время действительно

увеличивается. То же самое справедливо и для х, так как dx=vcosadt. Что касается у, то он сначала увеличивается, пока а не достигает значения a = О, после чего меняет знак, у уменьшается и движущаяся точка опускается. Для нахождения значений х, у, t, соответствующих наивысшей точке, нужно в интегралах положить a — 0.

Годограф. Уравнение v = ф (а) является уравнением в полярных координатах годографа скорости точки, так как v есть радиус-вектор точки годографа, а a — угол, который он образует с осью Oxr 310 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки

Естественное уравнение. Если функция ф известна, то легко найти естественное уравнение кривой. Действительно, мы нашли, что

V0-

— = g cosa,

следовательно,

_ V- _ [ф («)]¦

g COS a g cos a

Случай интегрируемости Лежандра. Мы исследуем со всеми подробностями случай, когда, по предположению, сопротивление определяется формулой

<р (v) = a + bvn,

где все три постоянные a, Ь, п. положительны. Мы будем предполагать, что а меньше единицы, так как в противном случае, если тело отпустить без начальной скорости, его вес будет меньше силы сопротивления mga, и тело не будет падать.

Для рассматриваемого движения уравнение (3) примет вид

dv „ , a + bvn

—— = tg a H---.

vda ь cos a

Раздеілив обе части на —vnjn и приняв за новую переменную 1 jvn, получим

da

. п I а \ . nb п

+ — I tg a --:— ) 4--= 0.

WnVb cos a f cos а

Для интегрирования этого линейного уравнения положим

1

¦после чего получим

Vft* Pl'



* =0.

COS а

Выберем q таким образом, чтобы обратить в нуль коэффициент при р; получим уравнение

da па da

— = — п tg a da--,

q ь cos а

допускающее частный интеграл

In q = п In cos а — па In tg (у + "у) •

<7 = C0S»a[tg(| + |)]

•При этом значении q нам останется для определения р проинтегрировать уравнение

dp _ nb

da. q COS a ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 311"

Интегрируя это уравнение в пределах от а0 до а и обозначая через q0 значение q при а = а0 и через U0 начальную скорость, получим

- = -Д- = С— nb f qvn J

da

qvn J q cos a

«о

где постоянная С имеет значение —-—, в чем убеждаемся, положив а = а0.

Подставив сюда найденное выше значение для функции q, получим v в функции а. После этого найдем х, у, t по формулам (4) и (5).

Покажем, что если а убывает до — я/2, то время неограниченно увеличивается, и у становится бесконечным, но отрицательным, тогда как v и х оба имеют определенные пределы, так что кривая имеет вертикальную асимптоту на конечном расстоянии и движение стремится стать прямолинейным и равномерным.

В самом деле, выражение, определяющее величину в после умножения на q, может быть написано следующим Образом:

--nbq f

Vn «„«,« 4 J

da

Vn q0v% "J <7 cos

Когда а стремится к —,q стремится к нулю, так как а меньше 1; с другой стороны, интеграл в правой части обращается при этом в бесконечность.

Так как член —-— стремится к, нулю, то достаточно найти предел второго <7о<

члена правой части, который может быть написан в виде отношения

-nbf

da

q cos a

Я

принимающего вид -^-.Отношение производных по а равно

nbq da cos a dq '

q da

или, заменяя ^ его вычисленным выше значением, получим

— sin а — а

Ь

Полагая, наконец, а=--—, найдем, что 1/и" стремится к пределу

а V— к пределу

3.312 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ

Интеграл, определяющий х [формула (5) ],

X =--— I V2 da,

g J

g а.

остается конечным, когда а стремится к —л/2. Действительно, так как v стремится к конечному пределу X, то подынтегральное выражение остается конечным и поэтому конечным будет X, который стремится к значению

X1 = -I f V2 da.

g J

«о

С другой стороны, t становится бесконечным при а =--. Действительно,

а

t = — — f vda g J cos а

«о

и подынтегральное выражение обращается в бесконечность при а = — и притом таким образом, что ^ g ^a стремится к определенному пределу X. Следовательно, этот интеграл ведет себя вблизи а = — , как

/

Ida

г п а+2

т. е. обращается в бесконечность. По той же причине выражение

а

у ---- I V2tgada

g J

«о

неограниченно возрастает, когда а стремится к — л/2. Таким образом, высказанные выше предложения установлены.

Найденной предел X для скорости, так же как и в случае прямолинейного нисходящего движения, является корнем уравнения

T(X) = I.

Примечание. Если в каком-нибудь определенном частном случае желательно выполнить квадратуры или по крайней мере приближенно вычислить значения V, X, у, t вблизи а =--, то проще всего положить

/ а , к \ du da 2и

и = 'g I -п + T Ь — =- , cos а = —--5 .

o V 2 1 4 / и cos а 1 + м2

Переменная и, вначале положительная, равна 1 при а = 0 и стремится к нулю, когда а стремится к — я/2. ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 313"

Значение q принимает вид
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed