Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
dt __ 1 у da g cos а '
определяющее dt, показывает, что когда а больше, чем — тг/2, про-изводная отрицательна и с уменьшением а время действительно
увеличивается. То же самое справедливо и для х, так как dx=vcosadt. Что касается у, то он сначала увеличивается, пока а не достигает значения a = О, после чего меняет знак, у уменьшается и движущаяся точка опускается. Для нахождения значений х, у, t, соответствующих наивысшей точке, нужно в интегралах положить a — 0.
Годограф. Уравнение v = ф (а) является уравнением в полярных координатах годографа скорости точки, так как v есть радиус-вектор точки годографа, а a — угол, который он образует с осью Oxr310 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
Естественное уравнение. Если функция ф известна, то легко найти естественное уравнение кривой. Действительно, мы нашли, что
V0-
— = g cosa,
следовательно,
_ V- _ [ф («)]¦
g COS a g cos a
Случай интегрируемости Лежандра. Мы исследуем со всеми подробностями случай, когда, по предположению, сопротивление определяется формулой
<р (v) = a + bvn,
где все три постоянные a, Ь, п. положительны. Мы будем предполагать, что а меньше единицы, так как в противном случае, если тело отпустить без начальной скорости, его вес будет меньше силы сопротивления mga, и тело не будет падать.
Для рассматриваемого движения уравнение (3) примет вид
dv „ , a + bvn
—— = tg a H---.
vda ь cos a
Раздеілив обе части на —vnjn и приняв за новую переменную 1 jvn, получим
da
. п I а \ . nb п
+ — I tg a --:— ) 4--= 0.
WnVb cos a f cos а
Для интегрирования этого линейного уравнения положим
1
¦после чего получим
Vft* Pl'
* =0.
COS а
Выберем q таким образом, чтобы обратить в нуль коэффициент при р; получим уравнение
da па da
— = — п tg a da--,
q ь cos а
допускающее частный интеграл
In q = п In cos а — па In tg (у + "у) •
<7 = C0S»a[tg(| + |)]
•При этом значении q нам останется для определения р проинтегрировать уравнение
dp _ nb
da. q COS aГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 311"
Интегрируя это уравнение в пределах от а0 до а и обозначая через q0 значение q при а = а0 и через U0 начальную скорость, получим
- = -Д- = С— nb f qvn J
da
qvn J q cos a
«о
где постоянная С имеет значение —-—, в чем убеждаемся, положив а = а0.
Подставив сюда найденное выше значение для функции q, получим v в функции а. После этого найдем х, у, t по формулам (4) и (5).
Покажем, что если а убывает до — я/2, то время неограниченно увеличивается, и у становится бесконечным, но отрицательным, тогда как v и х оба имеют определенные пределы, так что кривая имеет вертикальную асимптоту на конечном расстоянии и движение стремится стать прямолинейным и равномерным.
В самом деле, выражение, определяющее величину в после умножения на q, может быть написано следующим Образом:
--nbq f
Vn «„«,« 4 J
da
Vn q0v% "J <7 cos
Когда а стремится к —,q стремится к нулю, так как а меньше 1; с другой стороны, интеграл в правой части обращается при этом в бесконечность.
Так как член —-— стремится к, нулю, то достаточно найти предел второго <7о<
члена правой части, который может быть написан в виде отношения
-nbf
da
q cos a
Я
принимающего вид -^-.Отношение производных по а равно
nbq da cos a dq '
q da
или, заменяя ^ его вычисленным выше значением, получим
— sin а — а
Ь
Полагая, наконец, а=--—, найдем, что 1/и" стремится к пределу
а V— к пределу
3.312 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Интеграл, определяющий х [формула (5) ],
X =--— I V2 da,
g J
g а.
остается конечным, когда а стремится к —л/2. Действительно, так как v стремится к конечному пределу X, то подынтегральное выражение остается конечным и поэтому конечным будет X, который стремится к значению
X1 = -I f V2 da.
g J
«о
С другой стороны, t становится бесконечным при а =--. Действительно,
а
t = — — f vda g J cos а
«о
и подынтегральное выражение обращается в бесконечность при а = — и притом таким образом, что ^ g ^a стремится к определенному пределу X. Следовательно, этот интеграл ведет себя вблизи а = — , как
/
Ida
г п а+2
т. е. обращается в бесконечность. По той же причине выражение
а
у ---- I V2tgada
g J
«о
неограниченно возрастает, когда а стремится к — л/2. Таким образом, высказанные выше предложения установлены.
Найденной предел X для скорости, так же как и в случае прямолинейного нисходящего движения, является корнем уравнения
T(X) = I.
Примечание. Если в каком-нибудь определенном частном случае желательно выполнить квадратуры или по крайней мере приближенно вычислить значения V, X, у, t вблизи а =--, то проще всего положить
/ а , к \ du da 2и
и = 'g I -п + T Ь — =- , cos а = —--5 .
o V 2 1 4 / и cos а 1 + м2
Переменная и, вначале положительная, равна 1 при а = 0 и стремится к нулю, когда а стремится к — я/2.ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 313"
Значение q принимает вид