Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 12

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 205 >> Следующая


Если менять положение точки О, то главный вектор не будет меняться ни по величине, ни по направлению, что вытекает из самого определения этого вектора. Напротив, главный момент OG (рис. 12) изменяется за исключением случая, когда точка О перемещается по направлению прямой OR.

Приняв точку О за начало прямоугольных осей координат, обозначим через xk, yk, Zk координаты точки Ak, через Xk, Yk, Zk — проекции вектора Pk и через Lk, Mk, Nk — его моменты относительно этих осей. С другой стороны, пусть X, Y, Z обозначают проекйии главного вектора OR и L, М, N — проекции главного момента OG относительно точки О. Тогда, обозначая через 2 сумму, распространенную на все заданные векторы, получим

Y = I1Y* Z = IiZk, (R)

L=^Lk, М=%Мк, N=^lNk. (G)

Рис. 12. ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ

•29

(0*)

(О')

Пусть х', у', z' — координаты какой-нибудь другой точки О'. Мы видели (п. 10), что для проекций момента О'Grk вектора Pk относительно точки Or можно написать:

Lrk = Lk —(угZk-ZrYk),

Mrk = Mk-(ZrXk-XrZk),

Nrk = Nk-(XrYk-у'Xk).

Следовательно, обозначая через Xr, Yr, Zr и Lr, Mr, Nr проекции векторов OrRr и OrGr, получим:

Xr = ^iXk = X, Yr=Y, Z' = Z, (Rr

Lr = ^lLrk = L- (у' Z-z'Y),

Mr = M — (zrX—xrZ),

Nr = N — (xrY— УХ).

При помощи этих формул можно вычислить векторы Rr и Gr для любой точки Or пространства, если они известны для одной

точки О. Эти формулы показывают, что главный момент OrGr относительно точки О' равен геометрической сумме главного момента относительно точки О и момента относительно

точки О' главного вектора OR в точке О.

15. Изменение главного вектора и главного момента; инварианты; центральная ось. Допустим сначала, что главный вектор отличен от нуля. Тогда главный момент G' будет отличен от G, если только точка О' не находится на линии OR. Но проекция главного момента на направление главного вектора есть величина постоянная. В самом деле, имеем

R'G' cos RrG' = L'X' + MrYr + NrZ',

а левая часть этого равенства на основании значений Xr, Y', Z', L', Mr, N' равна LXMYNZ, т. е. величине постоянной. Так как величина R' также постоянна, то

G' cos R7G' = const = G cos RG,

что и доказывает теорему.

Вследствие этой теоремы, каковы бы ни были начало и направления прямоугольных осей координат, величины

X* + K2 + Z2. LX+MY + NZ

сохраняют постоянные значения. Эти величины называются инвариантами системы векторов.

Согласно определению скалярного произведения двух векторов (п. 3), можно сказать, что инвариант LX + MY + NZ есть скалярное произведение главного вектора и главного момента относительно 30

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ

произвольной точки пространства. Ниже (п. 21) будет дано другое замечательное геометрическое истолкование этого инварианта.

Так как главный вектор, по предположению, везде отличен от нуля, то можно найти такую точку 0'(х', у', г'), что главный момент О'О' будет направлен по той же прямой, что и главный вектор О'R'. Для этого необходимо и достаточно, чтобы L', M', N' были пропорциональны X, Y, Z:

L — (y'Z —z'Y)_ M — (z'X— x'Z) _N — (x'Y—y'X)

X ~ Y — Z ' W

Эти линейные относительно х', у', z' уравнения указывают, что геометрическое место точек О' есть прямая D'D, параллельная направлению главного вектора. Эта прямая называется центральной осью (рис. 13). Для какой-нибудь точки О' этой оси I' главный вектор и главный момент будут лежать на этой ; оси и будут иметь одинаковые или противоположные і направления в зависимости от того, будет ли величина ^ LXMYNZ положительной или отрицательной. При этом главный момент g будет минимальным, так как он совпадает со своей проекцией на главный вектор. В частности, если R отлично от нуля, а инвариант

LX+MY+NZ

равен нулю, то проекция главного момента относительно ЧҐ произвольной точки на главный вектор равна нулю. Этот Рис. 13. момент будет перпендикулярен главному вектору, а минимальный момент O'g будет равен нулю. Примечание. Умножая члены отношений (1) соответственно на X, Y, Z и складывая, получим для общего значения этих отношений величину

LX+ MY+NZ _G cos RG X*+Y* +Z9- ~ R

которая обращается в нуль, если минимальный момент равен нулю.

Случай, когда главный вектор равен нулю. В случае, когда главный вектор равен нулю, из предыдущих формул вытекает, что L', M', N' будут равны L, М, N. В этом случае главный момент будет одинаковым во всех точках пространства.

Рассуждения, которые привели к понятию, центральной <^си, в рассматриваемом случае теряют смысл. Можно условно принять в этом случае в качестве центральной оси любую прямую, параллельную главному моменту.

16. Сумма моментов относительно произвольной оси. Прямые нулевого момента. Рассмотрим ось Д, соединяющую две точки О' (х', у , z') и О" (х", у", г"). Момент 9? вектора Ple относительно этой оси определяется одной из формул, установленных выше (п. 12). ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ

•31

прямо противоположны. В самом деле, так как главный вектор равен нулю, то вектор Q равен и противоположен вектору Р. Далее, главный момент должен равняться нулю относительно произвольной точки. Примем в качестве нее точку А приложения вектора Р. Момент вектора P относительно точки А равен нулю, и, следовательно, главный момент приводится к моменту Q, и так как он должен быть равен нулю, то линия действия вектора Q проходит через точку А, что и доказывает предложение.
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed