Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Xi Уі гг 1
*i+ X1 Jfi + Yi г,+ Z1 1
X9 Уъ Z2 1
X2 + X2 Jf2 + Y2 Z2 + Z2 .1
6 объем. (/>,, /? = —
Раскрывая определитель, предварительно вычтя из второй строки первую и нз четвертой третью, получим
6 объем. (Pu P2) = LiX2 + Al1K2 + NiZ2 + L2Xx + Al2K1 + N2Z1,
или ввиду тождеств LxXx + Al1K1-I- NiZi = 0 и L2X2 -f- Al2K2 + N2Zi — 0,
имеем 6 объем. {Pi, P2) = (Li + L2) (X1 + X2) +
+ (Al1 + Al2) (K1 + K2) + (Ni + N2) (Z1 + Z2).
Аналитическое выражение момента относительно произвольной оси. Дана ось Д (рис. 10), на которой выбрано положительное ^p направление от точки О' с координатами (х', " у', г') к точке О" с координатами (х", у", г").
Проекции X2, Y2, Z2 вектора О'О", представляющего собою вектор Р<->, и величины Z,2» Al2, N2 его моментов равны соответственно
х" — х', у" —у', г" —Z'-, y'z" — z'y",
z'x" — x'z", х'у" — JfV'.
Момент SJl1 вектора Pi относительно заданной оси Д равен величине 6 объем. (Pi, Ръ), деленной на P2, что дает:
Si1:
{x"-x')L1+{y"-y')M,+(z"-z') N1+{у'z"-г'у")X1+(z'x"-x'z") Y,+(x'y"-у'х") Z1 V(x' - x'f + Cv' -y"f+(г' - г"?
Из этой общей формулы можно для проверки получить значения моментов вектора Pi относительно осей координат. Для оси Oz, например, достаточно положить х' = jf' = z' = х" = у" = 0 и z" = 1. Тогда момент будет равен N1. Точно так же для осей Ox и Oy получатся I1 и Al,.
13. Скользящие векторы, сходящиеся в одной точке. Результирующий вектор. Пусть заданы скользящие векторы P1, P2, . . . гРп, линии действия которых пересекаются в некоторой точке А. Каждый из указанных векторов можно перенести вдоль его линии действия так, чтобы все эти векторы оказались приложенными в самой точке А, как показано на рис. 11. Тогда результирующим вектором рассматриваемой системы векторов называется вектор R, равный их геометрической сумме и приложенный в точке А, либо ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
•27
другой вектор, получающиеся вследствие переноса вектора R вдоль его линии действия. На рис. 11 результирующий вектор найден путем
последовательного построения векторов APu P1Q2.....Qn-lQn'
геометрически равных соответствующим заданным векторам, причем точка А принята за исходную. Результирующий вектор R совпадает с AQn.
Проекции результирующего вектора. Мы уже указывали (п. 4), что проекции X, Y, Z результирующего вектора R на оси координат равны соответственно суммам проекций составляющих векторов:
X=X1+X2+ ... +Xn,
2 Yk' Z — 2 Zfc.
Рис. 11.
Моменты результирующего вектора относительно
осей координат. Обозначим через х, у, г координаты точки А. Тогда моменты вектора Pk (Xk, Yk, Zk) относительно осей координат будут:
Lk = yZk — zYk, Mfc = zXfc — X Zk, Nk = xYk — у Xk,
а моменты результирующего вектора относительно тех же осей будут:
L = yZ — zY, M = zX— xZ, N = xY — yX.
На основании найденных выше значений для X, Y, Z имеем
L=L1 + ^+ ... +Ln. M = 2 Mk, N = ^iNk.
Таким образом, шесть координат X, Y, Z, L, М, N результирующего вектора равны суммам соответствующих координат составляющих векторов.
Так как произвольная ось может быть принята за координатную, то мы видим, что проекция результирующего вектора заданной системы векторов, линии действия которых пересекаются в одной точке, на произвольную ось равна сумме проекций этих векторов на ту же ось; момент результирующего вектора относительно оси равен сумме моментов составляющих векторов относительно этой оси. (Теорема Вариньона.)
Отсюда получаем следующее: момент результирующего вектора системы сходящихся векторов относительно некоторой точки О равен геометрической сумме моментов составляющих векторов. В самом деле, если точку О принять за начало координат, то L, М, N будут проекциями на оси координат момента OG результирующего вектора относительно точки О, a Lk, Mk, Nk — проек- 28
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
циями момента OGk вектора Pk относительно той же точки. Но тогда предыдущие равенства как раз и показывают, что OO есть
геометрическая сумма векторов OG1, OG2.....OGn.
Примечание. Иногда представляется нужным разложить заданный вектор AP на другие векторы, приложенные в точке А, т. е. найти векторы, от сложения которых получится вектор АР.
Можно, например, всегда разложить при помощи параллелограмма вектор AP на два других, имеющих заданные направления AB и АС, плоскость которых содержит АР.
Точно так же при помощи параллелепипеда можно разложить AP на три вектора, имеющих заданные направления AB, AC, AD и образующих триэдр.
14. Произвольная система векторов. Главный вектор и главный момент. Пусть заданы произвольные скользящие векторы P1, P2, ..., Pn, приложенные в точках A1, A2, .. ., An. Выберем произвольную точку О пространства и назовем:
1) главным вектором — геометрическую сумму OR векторов ОР[, ОР'3, ..., OP' имеющих начало в точке О и равных заданным векторам;
2) главным моментом относительно точки О — геометрическую сумму OG моментов OG1, OG2, ..., OGn заданных векторов относительно той же точки.
