Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Можно вывести несколько различных выражений для момента вектора P1 относительно оси.
Обозначим через 8 кратчайшее расстояние между вектором и осью, а через 0 — угол между ними. Проекция отрезка 8 на плоскость П равна самому отрезку, а величина P1 равна P1SinQ, и поэтому момент SJ1 относительно оСи Д будет
SJ1 = ± Pl8 = ± P1B sin 0.
причем знак + или — берется в зависимости от того, будет ли точка, перемещающаяся вдоль A1P1, поворачиваться вокруг оси Д в положительном или в отрицательном направлении. 24
ПЕРВАЯ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
Отложим на оси Д в положительном направлении отрезок BP1 длины P2 и обозначим объем тетраэдра, имеющего A1P1 и BP2 в качестве противоположных ребер, через объем (P1, P2). При этом он принимается положительным или отрицательным в зависимости от того, будет ли точка, перемещающаяся от начала к концу одного из векторов P1 или P2, поворачиваться вокруг другого вектора в положительном или в отрицательном направлении. Тогда момент вектора P1 относительно А будет
™ _ 6 объем. (P1, Po)
JJC1 — -.
В самом деле, это равенство справедливо по знакам и по абсолютным значениям, так как рассматриваемый объем не изменится при перемещении вершин A1 и P1 ДО положений G1 и P1, что приведет к новому тетраэдру, объем которого V равен одной трети произведения P2 на площадь Ci1Bp1; поэтому, абсолютное значение момента, равное удвоенной площади O1Bp1, равно величине 6V, деленной на P2.
Примечание. Из формулы !Di1 = ± P1B sin 6 вытекает, что момент равен нулю, когда один из трех множителей равен нулю, т. е. когда вектор либо равен нулю, либо лежит в одной плоскости с осью.
10. Аналитические выражения моментов вектора относительно осей координат. Пусть дан вектор P1 с началом в точке A1 и с концом в точке B1 (рис. 1). Обозначим через X1, yv Z1 координаты его точки приложения A1 и через X1, K1, Z1 его проекции на оси Ох, Oy, Oz. Момент N1 вектора относительно оси Oz равен удвоенной площади проекции треугольника OA1B1 на плоскость хОу, причем этой величине площади приписывается знак согласно установленному ранее правилу. Но одна из вершин проекции совпадает с точкой О, а две другие имеют в плоскости хОу координаты:
проекция точки ^1: X1, ylt проекция точки S1: X1+^, y1 + K1.
Согласно элементарной формуле для площади треугольника, имеющего вершину в начале координат, получим
= (Ух + K1) — Уг (X1 + X1) = X1K1 — УіХ,.
Точно так же для моментов L1 и M1 вектора относительно осей Ox и Oy получится:
L1 = у ^1— Z1Y1, M1 = Z1X1 — X1Z1.
Определение векторного момента. Момент OO1 вектора P1 относительно начала О есть вектор, имеющий проекции на оси коор- ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
•25
динат, равные Lv M1, N1. Это вытекает из самого определения момента относительно оси.
Перенос начала. Если в качестве начала координат принять любую другую точку О' с координатами х', у', z', то .координаты точки A1 относительно новых осей, параллельных первоначальным, равны X1 — х', yt — у, Z1 — z'. Проекции вектора на новые оси остаются X1, Y1, Z1 и моменты относительно этих осей будут
^ = (^1-/)2,-ih—z) Y1,
Ml1 — (^1 — г ) X1 — (jCj — х') Z1,
^ = (X1-Z)Z1-Cy1-/) ^1.
Эти выражения получаются путем замены в выражениях L1, Mi, N1 величин xv ylt Z1 величинами X1 — х', у1 — у', Z1 — г'. Момент OrGr того же вектора относительно точки О' есть вектор, имеющий проекции L1, M1, N1. Принимая во внимание значения L1, M1, N1, можно написать
Li = L1 — {у'Z1 — ZrY1), M11 = M1- (ZrX1 — XrZ1), Nr1 = N1-(XrY1- у'Х,).
11. Пять координат скользящего вектора. Шесть величин X1, Y1, Z1, L1, M1, Ni удовлетворяют тождеству X1I1-I-K1M1-I-Z1N1 = O, которое выражает, что момент OGi перпендикулярен вектору ^1S1. Обратно, пусть заданы шесть произвольных величин X1, Y1, Z1, L1, Mi, N1, из которых первые три не равны нулю одновременно, удовлетворяющие тождеству
L1X1+M1K1+ N1Z1 = O.
Уравнения
Li = у Z1 — ZY1, M1 = ZX1— XZ1, N1 = XY1—у X1,
в которых X, у, z обозначают текущие координаты, определяют прямую линию D, так как в силу предположенного тождества они приводятся к двум независимым уравнениям. Пусть A1 — произвольная точка этой прямой. Тогда вектор P1 с началом в точке A1 и с проекциями Xv K1, Z1 будет направлен по этой прямой D и будет иметь моменты L1, M1, N1 относительно осей координат. Шесть величин Xv Yv Zv Lv Mv Ni- называются по Плюккеру координатами скользящего вектора. Из этих шести координат пять могут быть выбраны произвольно.
12. Относительный момент двух векторов P1 и P2. Так называют величину, равную 6 объемам (P1, P2), определенную раньше (рис. 9). Алгебраическое выражение этой величины получается непосредственно из элементарной формулы аналитической геометрии, выражающей объем тетраэдра 26
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
в функции координат его вершин. Пусть Jr1, Jfll z\ — координаты точки A1 и пусть X1, Yi, Z1 — проекции вектора P1 на оси координат, наконец Li, M1, Ni — его моменты относительно этих осей. Точно так же обозначим через X2, Jf2» zI координаты точки В и через Xb Y2, Z2, Al2, Ni — проекции и моменты вектора P2. Тогда, считая оси координат ортогональными н ориентируя их таким образом, чтобы поворот в положительном направлении вокруг оси Oz на 90° переводил ось Ox в ось Oy, получим с учетом знака
