Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7. Теоремы 4.23 и 4.24 имеются у Р. Ш. Липцера, А. Н. Ширяева [19], Жакода, А. Н. Ширяев [40] см. также А. А. Бутов [3], Б. И. Григелионис, Р. Микулявичус [II], [12], И. И. Гихман, А. В. Скороход [6]. По поводу теоремы 4.25 см. В. А. Лебедев [17] и Жакод, А. Н. Ширяев [40]. Теоремы 4.26—4.28 имеются у Жакода, А. Н. Ширяева [40].
§ 8. Материал этого параграфа заимствован из книги Жакода, А. Н. Ширяева [40] (Гл. 3).
II. § 1. Результаты этого параграфа являются классическими. Различные их версии имеются в работах Розепблзта [46], В. А. Волконского, Ю. А. Розанова [5], В. А. Статулявичуса [23], Серфлинга [48], М. И. Гордина [9], Мак Лиша [45]. Дополнительная библиографическая информация имеется в книге И. А. Ибрагимова, Ю. В. Линника [14] и Холла и Хейде [37]. Теоремы 4.31 и 4.32 имеются в книге Р. Ш. Липцера, А. Н. Ширяева [44] и принадлежат Д. О. Чикину [25], см. также Дюрр, Гольдштейн [32]. Марковский случай рассмотрен в работах Бхагтачария [29] и Туати [51], см. также М. И. Гордин и Б. А. Лифшиц [10].
§ 2. Модель стохастического принципа усреднения Боголюбова заимствована у А. Д. Вентцеля и М. И. Фрейдлина [4]. Аналогичная модель массового обслуживания в векторном случае изучена в работе Я. А. Когана, Р. Ш. Липцера, А. В. Смородинского [15].
§ 3. Примеры этого параграфа имеются у Р. Ш. Липцера, А. Н. Ширяева [44] (гл. 8 и 9) и Я. А. Когана, Р. Ш. Липцера, А. В. Смородинского
250: 115]. По поводу усреднения в моделях с диффузией см. А. Д. Вентцель, М. И. Фрейдлин [4].
§ 4. Результаты этого параграфа опираются на работы М. А. Красносельского, А. В. Покровского [16], Досса [31], Р. Мацкявичуса [20], Дьёндя [36].
§ 5. Проблема Скорохода впервые была сформулирована для полупространства [22] и решена Танакой [50] для выпуклой области. Предельные теоремы в области изучались Б. И. Григелионисом и Р. Микулявичусом [34]. Диффузионная аппроксимация с отражением с применением к теории очередей рассматривалась А. А. Боровковым [2], Зеликуртом [33], Б. И. Григелионисом, Р. Микулявичусом [35].
ЛИТЕРАТУРА
1. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. M.: Наука, 1977.— 352 с.
2 Боровков А. А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания,— M.: Наука, 1980,— 381 с.
3. Бутов А, А. К вопросу о слабой сходимости последовательности семимартингалов к процессу диффузионного типа // Успехи мат. наук.— 1983.— 38, в. 5,— С. 181 — 182.
4. Вентцель А. Д., Фрейдлин Al И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений.— M.: Наука, 1979.— 424 с.
5. Волконский В. А., Розанов Ю. А. Некоторые предельные теоремы для случайных функций. I; II // Теория вероятностей и ее применения.— 1959. — 4, вып. 2,— С. 123—140;— 1961,— 6, вып. 2,— С. 202—214
6. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения.— Киев: Наукова думка, 1982.— 612 с.
7. Гнеденко Б. В. К теории предельных теорем для сумм независимых случайных величин // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1939,— С. 181—232, 643— 647
8. — Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин.— М.— Л., Гостехиздат, 1949
9. Гордин М. И. О центральной предельной теореме для стационарных процессов // Докл. АН СССР,— 1969,— 188, № 4,— С. 739—741
10. —, Лифшиц Б. А. Центральная предельная теорема для стационарных процессов Маркова // Докл. АН СССР,— 1978,— 239, № 4,— С. 766— 767
11. Григелионис Б, И., Микулявичус Р. О слабой сходимости полумартингалов // Лит. мат. сб.— 1981,— 21, № 3,— С. 1—24
12. —, — О слабой сходимости случайных точечных процессов // Лит. мат. сб.— 1981,— 21, № 4,— С. 41—55
13. Золотарев В. М. Обобщение теоремы Линдеберга—Феллера // Теория вероятностей и ее применения,— 1967.— 12, № 4.— С. 666—677
14. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины.— M.: Наука. 1965.— 524 с.
15. Коган Я. А., Липцер P. ILI., Смородинский А. В. Гауссовская диффузионная аппроксимация марковских замкнутых моделей сетей связи ЭВМ Il Проблемы передачи информации,— 1986, 22, № 1— С. 49—65
16. Красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом,— M.: Наука, 1983
17. Лебедев В. А. Об относительной компактности семейств распределений семимартингалов // Теория вероятностей и ее применения,— 1981 — 26, Ns 1,— С. 143—151
18. Липцер Р. Ш„ Ширяев А. Н. О слабой сходимости семимартингалов к стохастически непрерывным процессам с независимыми и условно независимыми приращениями // Мат. сб.— 1982 — 116(158), № 3(11).— С. 331—358
19. —, — Теория мартингалов,— M.: Наука, 1986,— 512 с.
251: 20. Мацкявичус В. Устойчивость решений симметрических стохастических дифференциальных уравнений // Лит. мат. сб.— 1985.— 25, № 4.— C-343—352
21. Ротарь В. И. О неклассической оценке точности аппроксимации в центральной предельной теореме // Мат. заметки.— 1978.— 23, № 1.— С. 143—154
22. Скороход А. В. Стохастические уравнения для диффузионных процессов в ограниченной области і і Теория вероятностей и ее применения.— 1962.
