Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Е>0
Функция ф с указанными выше свойствами называется ассоциированной с функцией FeD(O). Эта функция задает «отражение» по нормале внутрь области О функции X (см. свойство 4) для ф).
Факт существования решения задачи Скорохода устанавливается при двух условиях.
(а) Существует единичный вектор е и константа с>0 такие, что (е,п)>с Для любого вектора reg U ^ry(O), где Jry(O)-
— множество всех внутренних векторов в точке у&дО.
(?) Существуют константы є>0 и б>0, с помощью которых для любой точки х?дО определяется открытый шар Вг(х0) с центром X0 при I X-Xq |
B,(x0)={ytEd: I у—X01 <е}
такой, что B1 (х0) сгО.
Теорема 4.41. Пусть О — выпуклая область в Ed
1) Если выполнено условие (а), то для любой функции X&D с X0(TC) существует единственное решение задачи Скорохода о нормальном отражении:
где ассоциированная с YzD(O) функция ф = ф(Х) непрерывна в топологии Скорохода в каждой точке XQD и
Var (ф (x))t < L sup j xs |, ^>0, (4.144)
где константа L зависит только от с из условия (а).
2) Если выполнено условие (?) то утверждение 1) остается в силе, за исключением неравенства (4.144).
Замечание 1. Всякая ограниченная область О удовлетворяет условию (?).
Замечание 2. Если X — непрерывная функция, то ф(Х) непрерывная функция.
244: 2. Семимартингал с нормальным отражением. Пусть выпуклая область O^Ed удовлетворяет одному из условий (а) или (?). Тогда для всякого XGD = D10, ^(Ed) с X0GO имеет место решение задачи о нормальном отражении:
= (4.145)
Обозначим S)t = a{Xs, s<t) и определим на (D1S)00) вероятностную меру Q. Обозначим SD^o — пополнение SDao по мере Q определим и фильтрацию D« =(Я>«)оо. где D%=
?>0
JV—совокупность множеств из SD^ нулевой меры Q. Из свойств функции Ф(Х)=(Ф/(Х))(>0 вытекает, что ф(X)—D^,-согласован, ный процесс и, Значит, ф(ЛГ) —семимартингал относительно D^.
Предположим, что X =(Xt)i^ является семимартингалом на стохастическом базисе (D, SDq , D®, Q). Определим фильтрацию
=(^Л>о с
^= DafYsi s<HE]V/,
Е>0
(jv— совокупность множеств из sd^ нулевой меры Q).
Если X — непрерывный семимартингал, то в его разложении Xt = Xo+At+Mt (4.146)
процесс локально ограниченной вариации A=(At)t>a и локальный мартингал M=(Mt)t>o имеют непрерывные траектории. Кроме того, согласно замечанию 2, к теореме 4.41 ф(^) = = (ф((Х))<>0 также имеет непрерывные траектории. Из (4.146) и (4.145) вытекает, что Y — непрерывный процесс с
Yt=X0+At+Mt+yt(X).
Процесс Y является семимартингалом относительно D^. Поскольку F^cD®, то в силу теоремы 3.22 Y является семимартингалом отно:итедьно F^. Разложение Y относительно F^ имеет вид
Yi = X0 +At +Mh (4,147)
где A = (At)i >0 и .M = (M^x)-непрерывные F1I — согласованные процесс локально ограниченной вар'иации и локальный мартингал, соответственно. При этом
(M) = (M). (4.148)
Предположим, что А — F ^-согласованный процесс. Положим
ф = а — а.
Тогда
Yt = X0 + At + Mt + yt. 17—7927 245 При этом ф —F+-согласованный процесс, являющийся ассоциированным процессор Для Y в задаче о нормальном отражении для семимартингала X =(Xt)t>0 с Xt = Xu-\-At-\-Mt.
Приведем теперь формулировку мартингальной проблемы диффузионного типа с нормальным отражением в области О.
Пусть b = b(t,X) и c = c(t,X), tZR+, XzD — вектор и симметрическая неотрицательно определенная матрица размера d и dXd соответственно с &(R+) ^SDaa измеримыми элементами, являющимися SDt — измеримыми при каждом f^0.
Определение. Вероятностная мера Q решает мартингаль-ную проблему диффузионного типа с коэффициентом сноса b(t,Y) и коэффициентом диффузии c(t,Y) и нормальным отражением в области 0(У = Х-)-ф (Z)), если t
f(||ft(s, Z)|( + |Hs, X)||)of5< ОО, Q-n. н., г<>0
о
и случайный процесс M=(Mt)t>о с
t
~mt = Yt-x0-\b{s,Y)ds-yt, о
где ф =(ф,)/>о —ассоциированная с Y^D(O) функция, является непрерывные локальным мартингалом относительно (F^, Q) с квад0атической характеристикой
t
< ТІЇ) ,= \c(s, Y)ds. 6
Из теормы Дуба следует, что случайный процесс У, рассматриваемый, если это необходимо на некотором расширенном вероятностном пространстве, является слабым решением стохастического уравнения Ито
і t
Yt = Xu+\b{s,Y)ds4-\cW{s,Y)dWs + vt, (4.149)
о о
относительно некоторого d-мерного винеровского процесса W= = (Wt)tsi0 с независимыми компонентами.
Данная мартингальная проблема имеет единственное решение, если множество мер, решающих эту проблему с совпадающими сужениями на о-алгебру SD0 состоит из одной точки. Единственность решения мартингальной проблемы эквивалентна слабой единственности решения уравнения (4.149).
Пусть уравнение (4.149) имеет слабое решение. Положим t t
Zt = x0 + f b (5, Y) ds - H f с>/2 (St Г) dWs. O O
246: Тогда
Yi = Zt + ф (Zt),
где ф (Z) —ассоциированная с У функция в задаче о нормальном отражении в области О функции Z=(Zt)tls0, т. е. ср, (Z) = = Фt. Отсюда селдует, что Z является слабым решением уравнения
t t
Zt = X0+ f b (s, Z + ф(Z)) ds + f C^r-(s, Z + ф (Z))d\Vs. (4.150)
