Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анулова С.В. -> "Стоханическое исчисление " -> 86

Стоханическое исчисление - Анулова С.В.

Анулова С.В., Веретенников А.Ю., Крылов Н.В., Липцер Р.Ш. Стоханическое исчисление — ВИНИТИ, 1989. — 260 c.
Скачать (прямая ссылка): ischesleniyastoh1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 93 >> Следующая


2) b = b(t,x) непрерывная по совокупности переменных функция вместе со своими частными производными bt = bt(t, х) и bx=bx(t, х);

3) функции bt(t, х), bx(t, х), b(t, 0)—равномерно ограничены;

4) bx = bx(t, х) удовлетворяет условию Липшица по х равномерно по t.

Тогда

S T

W _> aW=>Xn X,

где Ar=(Xi)OO-PemeHne стохастического уравнения Ито t

^ = X0 +J [a(s, Xs)+--bx{s, Xs) b(s, Xs)] ds +

о

J (4.142)

+ \ab(s, Xs)dWs.

о

Доказательство оснозано на вибрэкорректном преобразовании: Xnt О, І*, t),

Znt =a(t, Q(W1, О, Zl, і)), Zn0=X0,

где

Q(s, s0, y0, t) = ys, a ys — решение дифференциального уравнения

dJi = b(t, ys), уSe=у0.

240: Это преобразование позволяет установить, что

W11ZaWMXn, Zn, Wnf-y(x, Z, aW),

где

¦Xt = Q(aWt, 0, Zt t), Zt = a(t, Q(aW, О, Z„ 0), ^0 = X0.

При этом стохастическое уравнение для X выводится отсюда с помощью формулы Ито.

Достоинство виброкорректного метода состоит в том, что не требуется никаких дополнительных предположений о структуре процессов Wn, п>1. Однако этот метод, вообще говоря, не работает в векторном случае без дополнительного условия Фро-бениуса, сильно ограничивающего структуру матрицы b(t, х) (в векторном случае b(t, х) —матрица, Wtn — вектор).

S

3. Второй метод аппроксимации Л'"-> X работает как ,в скалярном, так и в векторном случае. Однако он требует дополнительных предположений о Wn. Теорема 4.40. Пусть

1) a = a(t, х)—непрерывная по совокупности переменных функция, удовлетворяющая условиям Липшица и линейного роста по X равномерно по t;

2) b = b(t, х) —непрерывная по совокупности переменных и ограниченная функция вместе со своими частными производными bt = bt(t, х), bx=bx(t, х), bxt = bxt{t, X), b^—b^it, х);

3) Wnt = ]/я IntJ гДе ? =(It)^Et — стационарный в узком смысле эргодический процесс такой, что

Е|?<оо, Eg0=O,

OO

§||Е(Ы^о)М*< оо = -co<s<0}).

о

Тогда

где Х^АТ^оо—решение стохастического уравнения (4.142) относительно некоторого винеровского процесса W = (Wt)t> 0

(со -jl/2

и 0= 2 j E (S^0)dt\ .

Доказательство. Прежде всего заметим, что

nt

WT = -M IsdS.

Vn

241: В силу условия 3) теоремы и леммы 4.2 процесс Wn = {Wl)t>® допускает разложение

Wl = -Lr Mnt + (V0- Vnt), (4.143)

у п у п

где M = (Mt) (>0 — квадратично-интегрируемый мартингал, являющийся процессом со стационарными в узком смысле приращениями, V=(Vt)i^0 — стационарный в узком смысле процесс такой, что (Vt, ?()/3,0 — стационарный в узком смысле процесс. Обозначим

Mi=-LrMnlt Vnt=L-Vnt.

X п у п

Отсюда и иЗ (4.141) и (4.143) следует, что

t t t Xl = X0+^a{s, Xl)ds+^b(s, Xl) dMl-J b (s, Xl)dVl,

0 0 о

где интегралы по dMп и dVn являются соответственно стохастическими интегралами по квадратично интегрируемому мартингалу

и семимартингалу, соответственно. Интегрирование по частям t

в ^b (s, Xl jdVl приводит к соотношению о

t t

J Ъ {s, XI) dVl= - J bx (5, Xl) b (Xl) VlWlds + al,

о о

где в ant собраны все оставшиеся члены. Таким образом

t

,Y? = Xo+Jj[a(s, Xns)-rbx{s,X?)b(s, Xl)Vl\Vl]ds +

+ J b (5, Xl)dMl + al.

14? стационарности в узком смысле и эргодичности I вытекает стационарность в узком смысле и эргодичность [Vi, Wl)t>0. При этом

EVlWl = E (L=VntVnlntxJ = EV0I0.

OO

Из леммы 4.2 следует, что V0 = J E (lu | sr\)du. Следовательно,.

о

242: г

= Далее

о

t t nt

J V4Wns ds = 5 vnslnsds = \ Jj VSlsds

OO о

и, значігг, ? силу эргоДической теоремы Биркгофа — Хинчина При П-У OO Р-п. н.

t

O2

VnsWUs.

І 9

О

Отсюда с учетом аналога теоремы Пойа (см. [19] задача 5.4.2) нетрудно вывести, что для любого Т> 0 при п-*-OO Р-п. н.

sup

t<T

t

^VnsWnds-t ^

-0.

о

Далее устанавливается относительная компактность семейства распределений Xn, п^ 1, позволяющая проверить, что

sup І я" Vr >0.

t<T

Последнее соотношение дает возможность устанавливать слабую

сходимость Хп^>Х вместо Хп^>Х, где Xn = Xn —«?. Слабая сходимость

Xn^X

устанавливается с помощью теоремы 4.36.

§ 5. Диффузионная аппроксимация для семимартингалов с нормальным отражением в выпуклой области

1. Задача Скорохода. Пусть D = D10, «,)(Ed)—пространство непрерывных справа и имеющих пределы слева вектор-функций X=(Xt)t>0, Xi=(X1(t), ..., Xd(t). Обозначим

D(0) = {XeD:XteO, t>0}, где O—замыкание выпуклой области OeEd (дО — граница области О).

Определение. Решением задачи Скорохода о нормальном отражении внутрь области О для XGD с X0GO называется функция Y= (Yt) (>06D (О) такая, что функция

ф = у—X

обладает следующими свойствами:

1) <р= ((pt)t>QeD, ф0=0,

2) полная вариация Var(ф), функции ф„ O^s^f конечна при каждом ^>0,

243: 3) для любой непрерывной и ограниченной функции / • O-^Ed с f (у) =0 при ybdO

t

<*Ф,) = 0, *>0

о

((¦, •) —скалярное произведение),

4) Для любой функции Y = (Yt)t>0?D (0) функция U1 =

= J (YS~YS, dqs), t>0 является неубывающей, о

5) функция ф согласована с фильтрацией D=(3>t)t>0 с SDt = = П a{Xs, s<t + &).
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 93 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed