Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анулова С.В. -> "Стоханическое исчисление " -> 83

Стоханическое исчисление - Анулова С.В.

Анулова С.В., Веретенников А.Ю., Крылов Н.В., Липцер Р.Ш. Стоханическое исчисление — ВИНИТИ, 1989. — 260 c.
Скачать (прямая ссылка): ischesleniyastoh1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 93 >> Следующая


Il E (?, I ||2< Q' (TJ (xSf r(dx))1/2 ==|| TJ ||2.

Значит, принцип инвариантности для Xn, п^ 1 имеет место при выполнении условия

со

Jj Il TJ ||2 dt < ОО.

о

9. Более тонкие результаты можно получить, используя свойства инфинитезимального оператора А.

Пусть функция f=f(x) принадлежит Ra— множеству значений оператора А. Тогда

1) J P(x)r(dx)< оо, J /(x)r(dx) = 0;

E E

2) уравнение

Ag=f

имеет решение с функцией g = g(x) такой, что J g2 (х) г (dx) <С

E

< оо , I при условии ^ II Ttf У idt < оо

V о

TJ(x)dt]j,

3) если О является простым собственным числом оператора А. и q = r, то при условии ^ g(x) r(dx) = 0 уравнение Ag = f имеет

E

единственное решение;

229: 4) если О является простым собственным числом оператора А, то марковский процесс ? является эргодическим.

Теорема 4.33. Пусть q(dx)=r(dx) и 0 является простым собственным числом оператора А. Тогда

Xn~>aW, где W —винеровский процесс,

O = j-2 \g(x)f(x)r(dx)J1/2,

g — решение уравнения Ag = f.

Доказательство этой теоремы опирается на формулу Дын-кина (4.125), примененной к функции g — решению уравнения Ag —f. В силу этой формулы, можно определить квадратично интегрируемый мартингал M=(Mt)t7s0 относительно фильтрации F, являющийся процессом со стационарными в узком смысле приращениями такой, что

t

Mt=g(fbt) — g (ъо) — J f {lu)du Р-п.н., t> О

о

с

EM2t = — 2t \f(x)g(x)r(dx).

Ь'

В этом случае

Xi=-U \g{int)-ga«и - і Mnl

J п У п

и используются следующие факты:

t<.T у п

— МпЛаЧУ, V п

где

a=j/EM'i.

10. Если q (dx) Ф г (dx), марковский процесс ? уже не является стационарным в узком смысле процессом. В этом случае его можно аппроксимировать в некотором смысле стационарным эргодическим процессом с q (dx) = r(dx).

С этой целью при фиксированных t, х рассмотрим меру со знаком

lit,x(dy) = p(t, X, dy)-r(dy)

230: и обозначим Var(^bx) полную вариацию этой меры. Существенную роль здесь играет условие: при каждом х?Е

lim Var(Ju^) = O (4.126)

/—оо

Если выполнено условие (4.126), то 0 является простым собственным числом оператора А и, значит, при q = r (4.126) обеспечивает эргодичность процесса

Теорема 4.34. Пусть q^r, f?RA и выполнено условие (4.126). Тогда утверждение теоремы 4.33 остается справедливым.

Доказательство. Если q = r, то С — стационарный в узком смысле эргодический процесс и имеет место утверждение теоремы 4.33. Определим процесс Xn = (Xl)t>o с

n^+nt

Xt=-U і f(Qds. у п J

Если q — r, то Xn = Xn и, значит, Xn-^aW.

Пусть -ф = -ф(AT), XW — ограниченная константой К, непрерывная в топологии Скорохода функция. Обозначим Eg-математическое ожидание, отвечающее распределению процесса ? с начальным распределением q. Имеет место оценка

I Erlp(AT») I < /CVar ([x„,/V),

согласно которой, в силу (4.126)

Iim E^ (?")=Iim E^-ip (Zn) = Ei|> (aW),

п п

где E — математическое ожидание, отвечающее винеровской мере.

Таким образом, Xn~>aW при q4=r. Далее, определим процесс > = с

л>п Vn

^t =А(<_„_3/4) v0 •

Доказательство теоремы завершается проверкой соотношений Xn-^aW и sup I X" — Xnt |-»-0.

t<T

231: § 2. Стохастический принцип усреднения в моделях без диффузии

1. Стохастический принцип усреднения Боголюбова. Рассмотрим дифференциальное уравнение с малым параметром є (е>0):

Xt = Eb(Xult), X0 = X0, (4.127)

где Ь = Ь(х,у)—непрерывная по совокупности переменных функция, удовлетворяющая условиям линейного роста и Липшица по X равномерно по у, %=(\t)t>о — измеримый случайный процесс с эргодическим свойством:

\^h(x,ls)as^h(x,y)p(dy), <-*«>, хЄЕ1 (4.128)

О Et

для любой измеримой функции h = h(x, у) с J IZz (х, y)\p(dy)<C <*>,

E1

где р = р(dy)~некоторая вероятностная мера на Е\

Поскольку е-малый параметр, то х) мало отличается от х0. Псэтому поведение проц* сса (Xet) естественно изучать на временных интервалах типа [0, е-1]. С этой целью рассмотрим процесс с «растянутым временем» Xе = (Xfi)t>о с

Vе ге Лі = Xt/e.

Функция Xe = (X3l)оо является решением дифференциального уравнения

Xet = b(Xt,ltД Xl = X0 (4.129)

CO случайным возмущением В «быстром Времени» (?(/.).

Стохастический принцип усреднения Боголюбова заключается в аппроксимации X' детерминированной функцией X = -(Xt)t^o, определяемой дифференциальным уравнением

Xt=I(Xt), X0 = X (4.130)

с усредненной правой частью

b(x)=\b(x,y)p(dy), (4.131)

E1

в следующем смысле: Для любого T > О

sup I Xet-Xt |До, е->0. (4.132)

KT

222: Доказательство (4.132) вытекает из интегрального неравенства Для AJ = PYJ-AM, выводимого из (4.129) и (4,130): (t<T), t

^cj*! b(Xl, l4r)-b(Xs, lsie)\ds + [6( .Ys, c.s;r)-b(Xs)]dS <

< L \ Wsds f sup I \[b (Xs, с ,і,)- b (.Y,)] ds

где L — константа Липшица.

Отсюда с учетом неравенства Гронуолла -Беллмана получаем, что

sup sup

KT I

[b(Xs,lsl*)-b(Xs)]ds

Требуемое соотношение (4.132) выводится отсюда с использованием результата, представляющего самостоятельный интерес.
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 93 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed