Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Il E (?, I ||2< Q' (TJ (xSf r(dx))1/2 ==|| TJ ||2.
Значит, принцип инвариантности для Xn, п^ 1 имеет место при выполнении условия
со
Jj Il TJ ||2 dt < ОО.
о
9. Более тонкие результаты можно получить, используя свойства инфинитезимального оператора А.
Пусть функция f=f(x) принадлежит Ra— множеству значений оператора А. Тогда
1) J P(x)r(dx)< оо, J /(x)r(dx) = 0;
E E
2) уравнение
Ag=f
имеет решение с функцией g = g(x) такой, что J g2 (х) г (dx) <С
E
< оо , I при условии ^ II Ttf У idt < оо
V о
TJ(x)dt]j,
3) если О является простым собственным числом оператора А. и q = r, то при условии ^ g(x) r(dx) = 0 уравнение Ag = f имеет
E
единственное решение;
229:4) если О является простым собственным числом оператора А, то марковский процесс ? является эргодическим.
Теорема 4.33. Пусть q(dx)=r(dx) и 0 является простым собственным числом оператора А. Тогда
Xn~>aW, где W —винеровский процесс,
O = j-2 \g(x)f(x)r(dx)J1/2,
g — решение уравнения Ag = f.
Доказательство этой теоремы опирается на формулу Дын-кина (4.125), примененной к функции g — решению уравнения Ag —f. В силу этой формулы, можно определить квадратично интегрируемый мартингал M=(Mt)t7s0 относительно фильтрации F, являющийся процессом со стационарными в узком смысле приращениями такой, что
t
Mt=g(fbt) — g (ъо) — J f {lu)du Р-п.н., t> О
о
с
EM2t = — 2t \f(x)g(x)r(dx).
Ь'
В этом случае
Xi=-U \g{int)-ga«и - і Mnl
J п У п
и используются следующие факты:
t<.T у п
— МпЛаЧУ, V п
где
a=j/EM'i.
10. Если q (dx) Ф г (dx), марковский процесс ? уже не является стационарным в узком смысле процессом. В этом случае его можно аппроксимировать в некотором смысле стационарным эргодическим процессом с q (dx) = r(dx).
С этой целью при фиксированных t, х рассмотрим меру со знаком
lit,x(dy) = p(t, X, dy)-r(dy)
230:и обозначим Var(^bx) полную вариацию этой меры. Существенную роль здесь играет условие: при каждом х?Е
lim Var(Ju^) = O (4.126)
/—оо
Если выполнено условие (4.126), то 0 является простым собственным числом оператора А и, значит, при q = r (4.126) обеспечивает эргодичность процесса
Теорема 4.34. Пусть q^r, f?RA и выполнено условие (4.126). Тогда утверждение теоремы 4.33 остается справедливым.
Доказательство. Если q = r, то С — стационарный в узком смысле эргодический процесс и имеет место утверждение теоремы 4.33. Определим процесс Xn = (Xl)t>o с
n^+nt
Xt=-U і f(Qds. у п J
Если q — r, то Xn = Xn и, значит, Xn-^aW.
Пусть -ф = -ф(AT), XW — ограниченная константой К, непрерывная в топологии Скорохода функция. Обозначим Eg-математическое ожидание, отвечающее распределению процесса ? с начальным распределением q. Имеет место оценка
I Erlp(AT») I < /CVar ([x„,/V),
согласно которой, в силу (4.126)
Iim E^ (?")=Iim E^-ip (Zn) = Ei|> (aW),
п п
где E — математическое ожидание, отвечающее винеровской мере.
Таким образом, Xn~>aW при q4=r. Далее, определим процесс > = с
л>п Vn
^t =А(<_„_3/4) v0 •
Доказательство теоремы завершается проверкой соотношений Xn-^aW и sup I X" — Xnt |-»-0.
t<T
231:§ 2. Стохастический принцип усреднения в моделях без диффузии
1. Стохастический принцип усреднения Боголюбова. Рассмотрим дифференциальное уравнение с малым параметром є (е>0):
Xt = Eb(Xult), X0 = X0, (4.127)
где Ь = Ь(х,у)—непрерывная по совокупности переменных функция, удовлетворяющая условиям линейного роста и Липшица по X равномерно по у, %=(\t)t>о — измеримый случайный процесс с эргодическим свойством:
\^h(x,ls)as^h(x,y)p(dy), <-*«>, хЄЕ1 (4.128)
О Et
для любой измеримой функции h = h(x, у) с J IZz (х, y)\p(dy)<C <*>,
E1
где р = р(dy)~некоторая вероятностная мера на Е\
Поскольку е-малый параметр, то х) мало отличается от х0. Псэтому поведение проц* сса (Xet) естественно изучать на временных интервалах типа [0, е-1]. С этой целью рассмотрим процесс с «растянутым временем» Xе = (Xfi)t>о с
Vе ге Лі = Xt/e.
Функция Xe = (X3l)оо является решением дифференциального уравнения
Xet = b(Xt,ltД Xl = X0 (4.129)
CO случайным возмущением В «быстром Времени» (?(/.).
Стохастический принцип усреднения Боголюбова заключается в аппроксимации X' детерминированной функцией X = -(Xt)t^o, определяемой дифференциальным уравнением
Xt=I(Xt), X0 = X (4.130)
с усредненной правой частью
b(x)=\b(x,y)p(dy), (4.131)
E1
в следующем смысле: Для любого T > О
sup I Xet-Xt |До, е->0. (4.132)
KT
222:Доказательство (4.132) вытекает из интегрального неравенства Для AJ = PYJ-AM, выводимого из (4.129) и (4,130): (t<T), t
^cj*! b(Xl, l4r)-b(Xs, lsie)\ds + [6( .Ys, c.s;r)-b(Xs)]dS <
< L \ Wsds f sup I \[b (Xs, с ,і,)- b (.Y,)] ds
где L — константа Липшица.
Отсюда с учетом неравенства Гронуолла -Беллмана получаем, что
sup sup
KT I
[b(Xs,lsl*)-b(Xs)]ds
Требуемое соотношение (4.132) выводится отсюда с использованием результата, представляющего самостоятельный интерес.