Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Можно дать критерии абсолютной непрерывности и сингулярности мер P и P' в терминах интеграла Хеллингера Я (а; Р, P') порядка а.
Теорема 3.30. а) Следующие условия эквивалентны:
(і) Р'«Р,
(U) Р'(а>0)=1, (iii) H(a; P1 Р')-И, ajO. Ь) Следующие условия эквивалентны:
(0 P'-LP, (а) р-(г>о)=о,
(Hi) H (a- P', Р)-»-0, а|0, (iv) H (a; P , Р) =0 для всех аб(0, 1), (и) Я(a; P', Р) =0 для некоторого аб(0, 1).
2. При исследовании условий абсолютной непрерывности и сингулярности мер, отвечающих семимартингалам, существенную роль играют, так называемые, предсказуемые критерии. С помощью этих критериев условия абсолютной непрерывности и сингулярности формулируются в терминах триплетов предсказуемых характеристик.
Теорема 3.31. Пусть задач стохастический базис (?], F = =(^t)t> o,Q), ^=^00-, Q = -^(PN-P) и h (я; Р, P')-процесс
Хеллингера порядка а(й(а(й[0, 1)), T — марковский момент. Следующие условия эквивалентны:
(І) Рг«Рг,
(U) Р0«Р0 и P'(А (1/2; Р, Р')г< оо) = 1, P'(A(0; Р, Р')г = = 0)=1,
р р'
(Hi) Р0<Р0 и /г(a; P', Р)->0, ajO (где означает сходи-
мость по Р'-вероятности).
Ioc
Следствие. Если Р'<СР, то Дія абголютюй непрерывности Р'<СР необходимо и достаточю, чтобы
Р'(А(1/2; Р, Р%< оо) = 1.
Замечание. В формулировках теоремы и следствия Л(1/2; Р, P') можно заменить на /i(?; Р, P') при любом
?e(0,l).
450: Для формулировки результатов, связанных с сингулярностью мер P и P', определим следующие объекты.
Пусть zhz' — процессы плотности мер P и P' относительно Q. Обозначим
G0 = {Z0>O, Z0>01, Cr = G0H {h (1/2; Р, P')r < П [h (0; Р, Р')г = 0}, Gr = G0П (lim sup h {а; Р, Ра)г = 0),
о t О
где T — марковский момент и на множестве {^ = 0} Gr = Gr = = G0.
Теорема 3.32. Пусть объекты, участвующие в этой теореме, такие же, как в теореме 3.31. (а) Имеет место импликация:
Рг^Рг^Р' (Gr)=O и P' (Gt)
в) Если выполнено хотя бы одно из условий: Po_L^o или Р'(А(1/2; Р, Р')т-<оо) = 0, то
Рт±Рт.
Ioe
Следствие. Пусть P'CP- Тогда для сингулярности мер P' и Р(Р'^Р) необходимо и достаточно, чтобы
Р'(А(1/2; Р, Р%<оо) = 0.
§ 5. Частные случаи
В этом параграфе реализуются результаты, сформулированные в теоремах 3.31 и 3.32 и следствием к ним, для ряда част-ных случаев, которым отвечают распределения некоторых случайных процессов.
На протяжении этого параграфа будем считать, что случайный процесс X определен на стохастическом базисе (Q, F,
~ (P' + P)), /где P' и P-вероятностные меры, F-F1/2(P,+P)(X),
1. Дискретное время. Пусть (й, гг, F = (^„-^-измеримое пространство с дискретной фильтрацией F = (5",г),г>0. Сужения Pn и Pn мер P и P' на ст-алгебру 9~п можно трактовать как распределение случайных последовательностей (?0, Si,..-, е,г) и (go, Еь-En)- Предположим, что при каждом п>0 Р„<
Ioc
<РЛ, т. е. Р'-СР. В этом случае
п
А (1/2; P1
S=O
151: где $к = zijzk^, zk = dpk!dpk и значит, в силу следствий к теоремам 3.31 и 3.32
P'«P«P'(U E [(1 -V"?"A)2|^_1]<ooWl,
Wo '
P'_LP~P' (2 E [(1 - Vfkf і ] < оо ) = 0.
2. Точечный процесс. Пусть семимартингал X является точечным процессом с компенсаторами А и А' относительно мер P и P' — соответственно.
Из теорем 3.31 и 3.32 вытекают такие результаты. Теорема 3.33. Для абсолютной непрерывности Р'<СР необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1) существует неотрицательный предсказуемый процесс такой, что
A'=X0A, 2) AAt=X^AAt = XtAAt = I,
3) P' С(1 - VXhAx + 2 (11-АД-Fl -HAt } < оо) = 1. \ оо '
Теорема 3.34. При выполнении условия 1) теоремы 3.33 и условия
P'((і-V+2 (Vi- ДА -vi-АЛ;)2<оо)=о
V оо /
меры P' и P сингулярны: P'_LP.
3. Семимартингал с гауссовской мартингальной частью.
Будем считать, что семимартингал X с X0=O допускает представление:
X = A +M' Р'-п. .н. X = M Р-п. н.,
где А — предсказуемый процесс конечной вариации на каждом конечном интервале, M' и M гауссовские мартингалы относительно P' и P соответственно.
Отметим, что в силу гауссовости процессов M' и M
(M)t = EMl (Mc) t= (M)ct, (M")t=(M)f,
где E — математическое ожидание по мере P (квадратичеекие характеристики M' определяются аналогично с заменой E на E' — математическое ожидание по мере P').
Теорема 3.35. Для абсолютной непрерывности Р'<СР необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
152: 1) существуют предсказуемые процессы О и Р =
= (р;)і>0(р>0) такие, что
Л=у°<Л1>, (M')d = p°(M)d, (M)d = p-l°(M'yd, 2) ( M ) ' = ( АГ ) 3) P' hi (Mf)0с+^/(А <Ж)<>0)(1-р/)г<^) = 1.
Если вместо условия 3) выполнено условие
3') P' ((то <Ж'>Со+2/(А<^)^>0)(1-р<)2<^)=0,
\ OO '
то Р'_1_Р.
Пример. Пусть относительно меры P' X является решением стохастического уравнения Ито
dXt = a(t, Xt)dt +dWt, X0=O
относительно винеровского процесса W= (Wi)tis,0 и Р —вине-ровская мера. Тогда P'«С P если и только, если
оо
j' a2 (t, Xt)dt<oo Р'-п. н. о
T
В том случае, когда \a2(t, xt)dt<.oo Р'-п. н., где Т — марков-
O
ский момент, P7-CP7-.
4. Процессы с независимыми приращениями. Семимартингал X является процессом с независимыми приращениями и триплетами предсказуемых характеристик T=(B,C,v) и T' = = (B', С', v') относительно P и P' соответственно. В силу того, что X — процесс с независимыми приращениями триплеты T и T' являются детерминированными. Обозначим
