Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
р(р, р')=1 — н(р, p')=-2 eq(vz-vz7)z=
а
не зависит от доминирующей меры Q и является расстоянием Какутани — Хеллингера между P и P'.
146:При изучении вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности вероятностных мер существенную роль играет интеграл Хеллингера порядка а, определяемый следующим образом:
H(а; Р, P') = EQ(Z-Zfl^a), аб(0, 1),
т. е. Н(Р, Р/)=Я(1/г; Р, P')- Также как в случае a= V2 интеграл Хеллингера H(а; Р, P') не зависит от доминирующей меры Q. В связи с этим в качестве Q удобно брать меру 7г(Р+ + P')- В этом случае имеет место удобное равенство:
Z+Z' =2.
2. Пусть вероятностные меры P и P' заданы на пространстве с фильтрацией (Q, ST, F) и Q — вероятностная мера на (Q, ff") такая, что
Ioc Ioc
P«Q, P'«Q.
Обозначим Z=(Zt)t>0 и Z' = (Z't), „,,о — процессы локальной плотности мер P и P' относительно Q. Процессы Z и Zt являются мартингалами относительно (F, Q).
Положим
Rn = mi(t:Zt<l/n), R = IimR,,, Г= U [0,
11 П
Rn = Inf (/:Zt < 1 Ш), R' = Iim Rn, Г7 = U [0, Rn],
п п
Sn = RllARn, S = RAR', г" = ГПГ'=и [0,5„].
п
Пусть at (О, 1) и Г (CC) = ZaZ'1-0. Процесс У(а) является супермартингалом относительно (F, Q). Обозначим h(a) = = (h(a)t)t>o — компенсатор У(сс) относительно (F, Q). Процесс h(а) является возрастающим предсказуемым процессом и обладает следующими свойствами:
Л (a) = Ir-Ji (а), АГ(<х) = Г(а) + Г(а)_сА(а) является мартингалом относительно (F, Q). Если же вместо
Ioc Ioc
локальной абсолютно л непрерывности P Q, P' Q имеет
место абсолютная непрерывность P Q, P' Q, то Ж (ос) —
равномерно интегрируемый мартингал. Процесс А (а) не зависит
, Ioc
от меры Q в следующем смысле: если Q другая мера и Q^Q и А(а) — процесс, определенный аналогично А (а) по мере Q, то процессы h(a) и А (а) являются Q-неразличимыми.
Определение 2. Возрастающий предсказуемый и P и P' — единственный процесс А (а) называется процессом Хеллингера (в строгом смысле) порядка а для мер P и P'. Процессом Хеллингера порядка а Для мер P и P' называется любой возрастающий процесс А'(а) такой, что процессы /Г"°А (ос) и /Г'°А'(а) являются P и Р'-неразличимыми.
10* 147В дальнейшем, чтобы подчеркнуть роль мер P и P', для h(a) будет использоваться обозначение h(а; Р, P').
Поскольку процесс Хеллингера связан с процессами плотностей ZhZ' мер P и P' относительно Q, одна из его версий может быть выражена в предсказуемых терминах, связанных с процессами Z и Z'. Ради простоты формулировки будем считать, что Q=-Jj-(P'-j-P). В этом случае
ZjrZ' =2
и, значит, для представления процесса Хелингера можно ограничиться лишь предсказуемыми характеристиками процесса плотности Z.
С этой целью определим следующие объекты:
фа (и, V) =au-\-(l—a)v—uavl-a,
Zc — непрерывная мартингальная составляющая процесса плотности Z,
vz(dt,dx) —компенсатор меры скачков Z.
Теорема 3.29. Пусть Q = -^-(P' +Р). Тогда процесс Хеллингера порядка а в строгом смысле задается формулой:
Z
+ Фа (1 +XjZ^, 1 +xl(2-ZJ)*vz.
При Q = Tj (Р' + Р) можно рассматривать процесс Хеллингера й(0; Р, P').
Определение 3. Процессом Хеллингера порядка нуль для мер P и P' называется процесс
где
A04P1 +
(1, .«=о, Ф і*) = (0j
X > 0,
Z — процесс плотности P относительно Q, vz — компенсатор Процесс Хедлингера порядка нуль (в строгом смысле) называется такая версия h (0; Р, P'), для которой /г(0; Р, Р') = /Г"°/г (0; Р, P') (с точностью До Q —неразличимости).
В случае дискретного времени процесс Хеллингера выражается достаточно просто. Пусть (Q, F=(^rn)nsa0)—измеримое пространство с дискретной фильтрацией и Z=(Zn)„>0, Z'= (Zn') >0 — процессы локальной плотности мер P и P' относительно І2.
148:Обозначим
Qn = ZrJZll^, I=Zn/Zn-1
(полагая 0/0 = 0 и имея в виду тот факт, что Zn = O1 если Zn^1=O). Тогда процесс Хеллингера Л (а; Р, P') = = (Лп(а; Р, P')n)n>i задается формулами:
п
A (а; Р, Р')я = ^ Eq (1 - ?*a?^a ; *rft_,)
4 = 1
или
п
В заключение этого параграфа отметим, что в случае локальне
ной абсолютной непрерывности Р'<СР процесс Хеллингера определяется следующим образом:
А (а; Р, PO= cc0P0 -JT0 <ZC> +
+ {a + (\-a)(\+xlZ_)-(\+xlZj-a}*vz, «6(0, 1),
где Z — процесс локальной плотности P' относительно Р, <ZC> — квадратическая характеристика непрерывной мартингальной составляющей Z, vz — компенсатор меры скачков Z. В частности,
А(1;Р, Р') = -^, <Z<> +1 {1 - Kl + -K/Z_ )2*vz.
При а== 0
А(0; Р, P0=(l+x/ZJ^(1+]/z_)*vz,
где
г|р(х) =I(X=O).
§ 4. Общие и предсказуемые критерии абсолютной непрерывности и сингулярности вероятностных мер
1. Пусть P и P' — вероятностные меры на и Q —
вероятностная мера на этом же измеримом пространстве такая, что P<Q, P <Q. Обозначим i=dP/dQ и %'=dP'ldQ. В силу разложения Лебега (см. (3.24) и для любого множества А
P'(A) = ^irIidP+ P'(А, 8 = 0).
л
149:Отсюда легко выводятся критерии абсолютной непрерывности и сингулярности мер P и P'. Л именно,
P'«P<*-P'(j> 0) = 1, P'j_P-^P'(a> 0) = 0.