Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
(/(Т< oo)ZT_=/(t< <X)dP't JdPx-), где dP'J dPx(dP'x_j dPx~)— производная абсолютно непрерывной части РТ(Р^.__) относительно РТ(РТ__).
143: В случае абсолютной непрерывности P' относительно Р(Р'<СР) процесс локальной плотности Z является равномерно интегрируемым мартингалом относительно (F, Р).
§ 2. Теорема Гирсанова и ее обобщение. Преобразование предсказуемых характеристик
1. Пусть мера P' абсолютно непрерывна относительно Р. Предположим, что процесс локальной плотности Z, являющийся в этом случае равномерно интегрируемым мартингалом, имеет непрерывные траектории и, значит, Z— локально квадратично интегрируемый мартингал относительно (F, Р).
Пусть W=(Wt)ts,Q — винеровский процесс на стохастическом базисе (Q, ff", F, Р). Поскольку W — локально квадратично иитегрируемый мартингал относительно (F, Р), то определена взаимная квадратическая характеристика <W, Z) =
= «w, zyt)tSsQ.
Следующий классический результат принадлежит Гирсанову.
/
Теорема 3.24. Пусть ( W, Z ) t= ^ с (od, s)ds, где а =
о
t
= (а(со, t))(>о - F-corласозанный процесс такой, что \а2(w, s)ds<_
o
< оо Р —п. н., ^ > 0.
Тогда случайный процесс W' = (Wt)t^ с
t
Wt = Wt- [a (a, s)ds,
о
является винеровским на стохастическом базисе (Q, ff", F, P').
2. Приведем обобщение этого классического результата.
Пусть P и P'— вероятностные меры на (Q, ff") и Q= ^(Р'+Р). Пополнение а-алгебры ff" и фильтрации F по мере Q будем обозначать ff" ^ и Fc^ соответственно.
Теорема 3.25. Пусть M=(Mt)t>$—локальный мартингал относительно (Fo, Р), мера P' локально абсолютно непрерывна от-
[ос
носительно P (P' Р) и Z = (Zt)t>о — процесс локальной плотности.
Предположим, что взаимная квадратическая вариация [Af, Z] = =([М, Z\t)t>о имеет локально интегрируемую вариацию по мере
P (в этом случае у [М, Z] существует компенсатор [М, Zj =
=([М, Z]t)t>o относительно (FQ, P)).
144: Тогда процесс M' =(Mt)t>o с
Mt = Mt-I (Z_ > 0)
является локальным мартингалом относительно (F®, P'). При этом процессы <МС> и (М/с) являются Р'-неразличимыми, а процессы /(Z->0)°<Mc> и I(Z->0)°<M с>— Р-неразличимыми.
Приведем теперь результат, показывающий как изменяются компенсаторы целочисленной случайной меры при локально абсолютно непрерывной замене меры.
Пусть р = dx) — целочисленная случайная мера на (R+XE, $(R+) ®&) (E—пространство Блекуэлла). Компенсаторы р относительно (F0, P') и (F®, Р) будем обозначать v' и V соответственно.
Ioc
Пусть P'<^Р и Z = (Zt)t>0 — процесс локальчой плотности меры P' относительно Р.
Положим
Y {t, x) = Z7-I (Zt_>0)M*(Z\&)(t, X), где • I условное математическое ожидание меры Долеан M»(d(t>, dt, dx) = P(d(u)\i(<i>-, dt, dx) при условии о-алгебры
Теорема 3.26. Пусть Р'1ос< Р. Тогда
1) v'(co; dt, dx) = Y(со, t, x)v(co; dt, dx) (P' —п. н.) 2) 7(Z_ (со) >0)v'(co; dt, dx) =I(Z_ (со) >0) У(со, t, x)v(co; dt, dx)
(Р-П. H.)
Теорема 3.25 и 3.26 позволяют установить, что при локально абсолютной замене меры семимартингал остается семимартингалом и вывести правило преобразования триплета предсказуемых характеристик.
Теорема 3.27. Пусть X=Xt) t>0 — семимартингал относительно (F^, Р) с триплетом T= (В, С, v) предсказуемых характеристик (с функцией урезания h(x) =1( |я|^1)).
Ioc
Если P' < Р, то процесс X является семимартингалом относительно (F^, P') и его триплет T'= (B', С', v') определяется формулами (P' — п. н.):
?' = ? + ?oC + /(M<l)".x:(r-l)*v, С' = С, v' = Kv,
где
Y=I (Z_>0)ZI1M^Z I^), ? = /(Z_>0) Zrld-Hl^,
10—7927 145 Z — процесс локальной плотности, Zc — его непрерывная мар-тингальная составляющая, Xе — непрерывная мартингальная составляющая X.
3. Рассмотрим еще одну ситуацию, в которой сохраняется семимартингальное свойство при замене меры.
Пусть (й, ST, F, Р) —стохастический базис и мера P является выпуклой комбинацией вероятностных мер P7 и Р": а', а"> >0 Р = а'Р'+а"Р, а'+а"=1. Предположим, что X=(X1)1^o семимартингал относительно (F, P') и (F, Р") с триплетами предсказуемых характеристик Т'=(В', С, v') и T"= (В", С", v") соответственно. Поскольку а'>0 и а">0, то Р'<СР и Р"С <СР. Обозначим Z' и Z" соответственно процессы локальной плотности P' и Р" относительно Р.
Теорема 3.28. Процесс X=(Xi)its0 является семимартингалом относительно (F, Р) с триплетом T= (В, С, v) предсказуемых характеристик, определяемым формулами:
B = a'Zio В'-j- a"Z'LoB",
С = a'zLcC' +a" Z'LoC", v = a'Z-v' 4- a"Z_v".
§ 3. Интеграл Хеллингера и процесс Хеллингера
1. Пусть Р, P' и Q — вероятностные меры на (Q, ST), причем Q доминирует P и P' (P<CQ. P'<CQ). Обозначим ZuZ' производные Радона Никодима мер P и P' относительно Q:
Z = dP/dQ, Z' = dP'ldQ.
Определение 1. Интегралом Хеллингера для мер P и P' называют величину
Я(Р, P') =E QyrZZr, где Eq—математическое ожидание по мере Q.
Очевидно, что интеграл Хеллингера не зависит от доминирующей меры Q. В связи с этим часто используется обозначение:
H (Р, P') = j VdPdP'.
Q
Очевидно, что Я(Р, P')^l и Я(Р, Р) = 1. Кроме того,
