Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Показывается, что опциональная а-алгебра Cf может быть также определена и как сг-алгебра, порожденная всеми стохастическими интервалами [0, т[, где т — марковские моменты.
Определение 4. Предсказуемая сг-алгебра 9і подмножеств QYR+ есть а-алгебра, порожденная всеми согласованными процессами Y=Y(a, t), tGR+, й>Ш, траектории которых непрерывны слева.
Предсказуемая а-алгебра 3і порождается также любой из совокупностей множеств:
a) AX(O)1^eSr0 и [0, т], где т — моменты остановки;
b) ЛХ{0}, AGSr0 и AX]s, t], где s<t и AeSrs. Ясно, что
(^-измеримый или ^-измеримый случайный процесс называется соответственно опциональным или предсказуемым.
Роль опциональных и предсказуемых множеств и процессов особо проявляется в (приводимой ниже) конструкции стоха-
117: стических интегралов, представляющих собой существенный ингредиент теории стохастического исчисления. ' 3. Определение 5. Марковский момент т называется предсказуемым, если стохастический интервал [0,т[ является предсказуемым множеством.
Это определение равносильно тому, что существует неубывающая последовательность марковских моментов {хп)п>\ такая, что
т(со) =Iim тп (со)
H Tn (со) <т(со), соб{со : т(со) >0}. (Такая последовательность (тп) называется предвещающей последовательностью для т).
Отметим ряд свойств предсказуемых моментов:
a) если (т„) — предсказуемые моменты, то sup т„ также предсказуемый момент;
b) если (тп)—предсказуемые моменты и а = іпітн, причем U{a=Tn} = Q, то ст — также предсказуемый момент;
c) если т — предсказуемый момент и A = то момент
•г иЄЛ'
ял |_]_оо, со€Л также является предсказуемым.
d) если т — момент остановки является дебютом предсказуемого множества а, т. е. T(co)=inf{/: (/, со)бА} и (т]еЛ, то т — предсказуемый момент.
Важным и трудным результатом общей теории случайных процессов является следующая
Теорема 3.1 (о сечениях). Пусть стохастический базис ЗВ является полным и AG^p (соответственно, AgO). Тогда для каждого в>0 существует предсказуемый (соответственно, марковский) момент т такой, что его график [т] принадлежит множеству а и
P(со : т(со) =оо и есуществует tGR+ с (со,/)бЛ)^є.
Типичным примером применения этой теоремы, являющейся основным средством в доказательствах результатов о «единственности», является
Теорема 3.2. Пусть Xn Y предсказуемые (опциональные) процессы. Пусть для каждого предсказуемого (марковского) момента т
Хт=Ут({т<оо>; P-п. H.), т. е. Р(ХхФ Yx, т<оо) =0. Тогда процессы X и Y неразличимы, иначе говоря случайное множество {Х?= У}={ (со, t) : Xt (со) Ф =тМ7г(со)} является пренебрежимым, т. е. Р(со : RtGR+ с (Ш, /)б{^У})=0.
4. С целью проведения классификации марковских моментов введем следующие два понятия.
Определение 6. Марковский момент т называется достижимым, если найдется последовательность (тп)п>і предсказуемых моментов таких, что [т]еЦ[т„].
п
118: Определение 7. Марковский момент а называется вполне недостижимым, если Р(а=т<°о)=0 для всякого предсказуемого момента т.
Теорема 3.3. Для каждого момента т существует одна и только одна (с точностью до Р-пренебрежимости) пара марковских моментов а и 7 таких, что:
(1) а — достижимый момент,
(2) у — вполне недостижимый,
(3) [т]=[аМ7]и [а]ПМ = 0.
В смысле, указанном в этой теореме, можно сказать, что классы предсказуемых и вполне недостижимых моментов являются «ортогональными».
Если случайный процесс X из класса D является предсказуемым, то существует последовательность предсказуемых моментов, которая исчерпывает все множество моментов скачков. При этом AXt=O ({т<оо}; P — п. н.) для всех вполне недостижимых моментов (AXt=Xt—Xt_).
Определение 8. Если для процесса X из класса D AXa=O ({ст<оо}; P — п. н.) для каждого предсказуемого момента ст, то говорят, что процесс X является квазинепрерывным слева.
Теорема 3.4. Пусть процесс X принадлежит классу D. Тогда следующие три условия являются эквивалентными:
a) X — квазинепрерывен слева;
b) существует последовательность вполне недостижимых моментов, которая исчерпывает все множество скачков процесса;
c) для каждой возрастающей последовательности (т„)п>і с пределом т (т=Iim Tn)
WmXxn = Xx ({т < оо}; Р — п. н.).
5. Предположим, что случайный процесс X ==(Xt)t^R+ является (/^+измеримым. Ясно, что 9C-0c:sr®g3 Щ+). Оказывается, что при естественных предположениях (типа Х^О, |Х|^С), обеспечивающих существование условных математических ожиданий, существует один и только один (с точностью до неразличимости) опциональный процесс 0X (предсказуемый процесс pX) такой, что
(°X)t= E(XtIFr) ({т<оо}; р_п. н.) для всякого марковского момента т (соответственно (pX)tj= E (Xa I„_) ({ст<оо};Р —п. н.)
для всякого предсказуемого момента ст).
Процессы 0X и pX называются опциональной и предсказуемой проекциями процесса X.
Если X—квазинепрерывный слева процесс, то исходя из определения 8 следует, что PX=X-.
119: § 3. Мартингалы и локальные мартингалы
1. Определение 1. Согласованный процесс X=(Xl)tsJS, определенный на стохастическом базисе ^= (Q, Sr, F, Р) и с траекториями из пространства D, называется мартингалом (субмартингалом, супермартингалом), если Е|Х(|<;оо, tGR+,
