Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
72: Ed, f в E1. Если при каждом t Р-п. н.
t t
Zt<Z0+$xsdWs + $ fsds O о
и
(M2+/2),<c(l + sup Z?),
Jg[0,/1
то E sup Zs<C(c, *)(l-fEZo)- Действительно, sup Z2s не гфе-
JgIO,/] JglO1/]
восходит суммы таких же супремумов от квадрата каждого слагаемого в правой части. Беря ожидание этих супремумов и оценивая sup I tsd\Vs с помощью неравенства Дуба (теорема 2
j</ \о )
§9 гл. 1 [26]), из леммы Гронуолла —Беллмана (лемма 4.13 §4 гл. 4 [26]) получаем требуемую оценку.
3°. Пусть область О ограничена. Тогда для любого ^>0 существует С (с, t) такое, что для любого слабого решения X уравнения (1.28) E sup I XJ2C С (с, t).
JglO1/] '
Действительно
d I Xt |2=2XtdXi + Il at (X) II dt < <2Х,о, (X)dWt + 2Xtbt (X) dt +1) at (X) || dt,
поскольку Х^фя^О. Неравенство следует из того, что для любой xGdO и любой нормали п в точке х (х, п) =—(0—лг, п)^0 силу выпуклости О. Применяя оценку 2° к процессу \Xt\2, получим:
E sup |Xs|4<C(c, t). Jgio./J
4°. Из 1° и 3° следует утверждение теоремы при условии 1). 5°. При условии 2) доказательство строится точно так же, поскольку Xsd(ps снова неположительно.
6°. Обозначим о1 = (о",..., old). Пусть выполнено условие 3) и коэффициенты о, b ограничены. Рассмотрим процесс X1 в
[0, оо):
d (x)f = 2x)dx\ + Il at (X) II dt = = 2X)<s\ (X) dWt + 2X]b\ (X) dt + II O1(X) II dt. Применяя оценку 2° к процессу {х))2, получим: E sup (Xs)4 < С (с, t).
JglOlZl
73: но в силу следствия 1 теоремы (1.34)
ф'=- Inf &i(X)rfu]A0,
Vo 0 J
поэтому
ф! < ( — inf \ a' (X) dW и- inf ^(X)cfo|vO.
V sgio.'l 0 /
Отсюда с помощью неравенства Дуба (теорема 2 § 9 [26]) и оценки E sup (X])4 получаем E (ф])2 < С (с, t). Далее, по фОрМу-
^ІО,*]
ле Ито
d I X, 12=IXtdXl + Il O1 (X) К dt = = 2Xflt(X)dWt + 2Xtbi(X)dt + \\ot(X)\\dt + >i(Xt)dyh
откуда, в силу 2° и уже имеющейся оценки Е(ф,')2, получаем E\Xt\^C(c,t).
7°. Из 1 и 6е следует утверждение теоремы при условии 3). По аналогии с определением потраекторной единственности решения уравнения (1.1) § 1 во всем пространстве, можно дать определение потраекторной единственности решения уравнения (1.28).
Определение 1.7. Мы говорим, что для уравнения (1.28) имеет место сильная, или потраекторная единственность решения, если для любых двух его слабых решений X и X', определенных на одном стохастическом базисе (?2, F, Р) с одним и тем же F-винеровским процессом W из равенства X0-X0rP — п. н. следует, что Xt==Xt' для всех t^O P — п. н.
В случае «области» справедлив следующий аналог теоремы 4.6 гл. 4 [26].
Теорема 1.38. Пусть для некоторых L>0 и неубывающей непрерывной функции К : [0, со)->-[0, 00) при всех /6[0, оо) и X, YeC
Il о, (X)—at (Y) Il2 +1 bt (X)-bt (Y) 12 < t
<\\X-Ys\2dKs+L\Xt-YtV>
о
Тогда сильная единственность имеет место в следующих случаях:
1) О — выпуклая область, у — поле нормалей [56];
2) 0={хЄЕі:х1^>0}, у—С2-гладкое и проекция у на нормаль равномерно положительна (по-видимому, результат принадлежит [45]).
Доказательство. Г. Пусть выполнено условие 1), X и X'—два решения уравнения (1.28), ф и ф'— соответству-
74: ющие процессы ограниченной вариации. Тогда ' t \Xt~X't\2 = \4Xs-X's)d{Xs-X-s) + \\\<Ss{X)-os{X')\\ds<
<$2 (X$~X's)(os(X)-os(X'))dWs^ о
t t
+ $ 2(Xs-X's)(bt(X)-bs(X'))ds + S I! as(X)-Os(X')\\ds, о 0
поскольку (Js—Xs') (dqs—d(ps')^0 (неравенство следует из того, что для любого хбдО, любой нормали п в точке х и любой x'GО в силу выпуклости О (х'—X, п)^0). Завершается доказательство, как и в случае всего пространства (см. теорему 4.6 гл. 4 § 4 [26]).
2°. Случай 2) сводится к случаю 1) с помощью локальных координат, переводящих у в поле нормалей.
Применяя теорему 1.3 (Ямада—Ватанабэ) § 1, получаем: Теорема 1.39. Пусть выполнены условия теорем 1.37 и 1.38. Тогда существует сильное решение уравнения (1.28).
Уравнение (1.28) создано для описания процессов, мгновенно отражающихся от границы. Это показывает следующая
d
Теорема 1.40. Пусть O = (XQea--X^O), 2 (0"')2
(=1 < о
обращается в нуль. Тогда для любого решения X уравнения (1.28)
OO
$/со (XJdS = О P-п. н.
о
t
Доказательство. Рассмотрим семимартингал § Iдо(Хs)dXs,
о
Приближая этот интеграл римановыми суммами (см. пункт г) леммы 4.4 § 2 гл. 4 [26]), убеждаемся, что он не убывает по t, а значит, имеет нулевую квадратическую вариацию. С другой стороны, его квадрэтическая вариация равна
t d
1 1 НЄ
-Фо
$/*> то 2 <<*"<*)№
2
О I = I
откуда и следует утверждение.
4. Стохастические дифференциальные уравнения с отражением и с задержкой на границе. Кроме рассмотренных процессов с мгновенным отражением, бывают еще процессы с отражением, проводящие на границе ненулевое время. Внутри же области они ведут себя по-прежнему как решения стохастических дифференциальных уравнений.
75: Пусть, кроме О, /у, ст, Ь, задана еще функция р:[0, оо)хС-> ->['0, оо), р = р/{л-^(Ю} (р —течение времени на границе). Рассмотрим уравнение
dXt = l0(Xt) {ot{X)dWt+bt(X)dt)+d<pt. (1.30)
