Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Инвариантная мера диффузионного процесса
Рассмотрим однородное d-мерное стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ)
dxt = b(xt)dt+a(xt)dWt, (1.23)
с ограниченными, измеримыми коэффициентами а и Ь, не фиксируя пока начальное значение х0. Будем предполагать, что любое решение СДУ (1.23) с любым неслучайным начальным условием Xo является слабо единственным (для чего достаточно, например, невырожденности и непрерывности диффузии, или условия Липшица на ст и b). В этом случае решение (Xх (х — начальное условие) является строго марковским процессом (см. [22]). Обозначим (xt) марковское семейство процессов (х,х, xGEu, Qs0).
Как и ко всякому строго марковскому процессу, к (х,) при определенных условиях возвратности применимы общие теоремы о существовании инвариантной меры.
Теорема 1.24. Пусть при некотором xGEd распределения временных средних T'1 SoTxsxds слабо компактны при T-*-оо. Тогда процесс (х,) имеет хотя бы одно стационарное распределение.
Единственность стационарной меры имеет место тогда, когда процесс не имеет различных (существенных) эргодических классов. Можно дать следующее достаточное условие единственности. Обозначим ст° = Ь4-о/а/2, o^l^i^d)—вектор-столбцы матрицы ст, Lie (b; ст) (х) —линейное пространство, порожденное векторами о'(х), 1^1?? и всевозможными скобками Ли [ст4, .УК*), [[а\ а1], о"](.к),..где l<t<cf, О</, k, ..
Теорема 1.25. Пусть выполнено хотя бы одно из двух условий:
А./„/ X*oo*(x)Xpsy I^l2, y>0.
x
В. b, a?Co(Ed), и inf dim Lie(6; a) = d. Тогда существует не
X
более одной стационарной меры процесса Xt.
Для общих марковских процессов условия единственности стационарной меры можно найти в теореме 1.23 из [33]. Условия этой теоремы используют: а) понятия неприводимости и ограниченности по вероятности, которые для решений СДУ обсуждаются в теореме 1.24 из [33] (в этой теореме условия более-
62: общие, чем в теореме 1.25 настоящего параграфа, однако, коэффициенты обязательно непрерывны) и Ь) теорему 1.25 из [33] (в которой ограниченность процесса по вероятности выводится из существования некоторой функции Ляпунова).
2. Скорость сходимости к инвариантной мере при каком-нибудь условии невырожденности, например, при условиях (А) или (В) теоремы 1.25 зависит от того, насколько хороши возвратные свойства процесса. Приведем несколько результатов о сходимости по вариации, а также об оценках скорости сходимости для общих марковских процессов, а затем — простые достаточные условия для проверки этих оценок в терминах коэффициентов СДУ. Через Р( обозначаем распределение xt, Р(х, t, •) —переходная вероятность процесса xu 00.
Теорема 1.26 (Б. А. Севастьянов [301). Однородный марковский процесс на фазовом пространстве (Ал, 9з) имеет единственное стационарное распределение ц, которое является эр-годическим (т. е. var(P;—ц)->-0, ^oо, при любом P0), если для любого е>0 найдется такое множество CGM, вероятностная мера я на X, числа /i>0, m>О, A4>0, и для любого начального распределения P0 найдется такое t0, что
1) тя(Л)<Р(х, tu Л)VxGC, АаС, АGffl при любом t^t0
2) Р,(С)>1-е;
3) Р,(Л)<.Мя(Л)+є VAczC, AG^.
Следующие две теоремы доказываются методом, аналогичным методу, примененному в [8] для оценки скорости перемешивания.
Теорема 1.27. Пусть выполнено хотя бы одно из условий (А) или (В) теоремы 1.25, X0 неслучайно, и для любого 66(0, б0] найдутся ограниченное множество X6Gffi и функция O^h6(х), xGEd, равная на X6 тождественно единице, что Iim Zz6 (х) =
Ul-OO
= оо, и выполнены следующие два неравенства:
1) для всякого Х^Жь
E ехр(6т(х)Х/і6(х),
где т(х) : =inf(Q?0: х«*бХ6);
2) для всех XGEd и OO
ExZi6 (Xi )<Сб/іб (х), С6>1,
причем С0|1 при б|0. Тогда при некоторых С, >,>0 и б>0 для всех O5O, X0GEd имеет место оценка
var (Vt — ц) < С ехр (— Xt) hl (х0).
Теорема 1.28. Пусть выполнено хотя бы одно из условий (А) или (В) теоремы 1.25, X0 неслучайно, и найдутся такие число ограниченное множество XGffi, функция h(х), xGEd,
что lim h(x)=oo, h(x)I (xGX) = 1, и выполнено следующие
Ul-OO
63: два неравенства:
1) Et (*)»<й(*);
2) для всех X0GEd, t^O
Efi(xt)^Chfi(x) (Ch> 0).
Тогда при некотором С>0 справедлива оценка
var(Pt-(1 +/) (In /)1Zi2(AT0).
Для общих строго марковских процессов условия невырожденности (А) или (В) можно заменить следующим условием типа «локального условия Деблина»:
inf inf f X/\pX'((Ttdl p'.A^edy)> 0 (1.24)
(>Жд
(dPi/dP2 означает производную абсолютно непрерывной части). Если выполнено условие (В), то выполнено и (1.24). Если выполнено условие (А), то (1.24) также имеет место, что можно вывести из неравенства Харнака, доказанного Н. В. Крыловым и М. В. Сафоновым в [24].
Условия (1) и (2) теоремы 1.27 для СДУ выполнены, в частности, если справедливо неравенство
IIm (Ь(х), х!\JCI) <0.
Если допускается линейный рост о и Ь, то те же условия можно обеспечить соотношением
Iim 1I f U CT*(JC) Il "I -1
,ІІ?» L(A (*).*/'*,)'I = -00 •
§ 5. Носитель диффузии
