Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
[19].
dxt = a(t, Xo^dt+dWt, х0=х,
(1.17)
53 Iim^h = O, и 0<tk-i<Ztk. Положим
fo->~ — ОС
a(t, jcJ) = | { 'tl-t'^ )• A=-I, -2, ...,
( О, / = O или t>t0.
Теорема 1.14 (Б. С. Цирельсои [36]). Уравнение (1.17) не имеет сильного решения.
Усовершенствованное доказательство теоремы Цирельсона, предложенное Н. В. Крыловым, можно прочитать в книге Ватанабэ, Икэды [3]
Результат Барлоу относится к одномерному СДУ
dxt = a(xt)dWt, х0=х, (1.18)
с невырожденной непрерывной диффузией.
Теорема 1.15 (Барлоу [37]). Пусть а(х) — непрерывная функция и существуют такие положительные постоянные cl, -C2, с3, Ca, а, ?, что
а) 0<а<1/2;
б) a<?<a+min(a/(a+2), (а—2а2)/(1+2а));
в) 0<С[<а2(х) <с2, хе[хі,х2];
г) \о{х) — о (у) |<с3|х—г/X, уЄ[хи X2] ;
д) для любых у, X1 ^.х<іу^.х2, найдутся такие х', у', х^х'Су'^у, что \х'—у'\>сА\х—у\ и \о(х')—а{у)\> > сь\х'—у'\*.
Тогда при x0t(xux2) решение уравнения (1.18) не может быть сильно единственным.
Доказательство—весьма хитроумное — см. в [37]. Там же построен простой пример функции а(х), удовлетворяющий условиям теоремы, и тем самым показано, что множество таких функций непусто.
§ 2. Слабые решения стохастических
дифференциальных уравнений с негладкими коэффициентами в Ed
1. Теория стохастических дифференциальных уравнений в своем развитии повторяла теорию обыкновенных дифференциальных уравнений: от теоремы существования решения уравнения с липшицевыми коэффициентами был сделан шаг к непрерывным коэффициентам (А. В. Скороход [31]). Идея доказательства была заимствована из обыкновенных дифференциальных уравнений: ломаные Эйлера, условие компактности Ар-цела—Асколи. Конечно, специфика стохастических объектов не могла не внести новых проблем — оказалось, что для допредельных процессов 'нельзя гарантировать относительную ком-
54 пактность в смысле сходимости по вероятности. А. В. Скороход преодолел эту трудность с помощью метода одного вероятностного пространства: построил такое вероятностное пространство, на котором ломаные Эйлера сходились по вероятности. И некоторое время никто не замечал, что предельный процесс хотя и является решением уравнения (1.19), но совсем не в том смысле, как это определялось в § 1. А именно, решение оказалось не «сильным», а «слабым» — не было согласовано с потоком, порожденным винеровским процессом. Осмысление этого факта привело к заключению, что при нерегулярных коэффициентах диффузии и сноса соответствующие процессы надо описывать не как решения стохастических дифференциальных уравнений, а как решения некоторой проблемы мартингалов.
2. Фиксируем натуральное d. Обозначим через C = (X) пространство непрерывных Ed— значных функций на [0, оо), W— ст-алгебру борелевских множеств С, С — естественный поток ст-алгебр на С.
Пусть на [0, оо)ХС заданы функции O=Ot(X) и b = bt(X) со значениями в пространстве <ЇХ^-мерньіх матриц и в Ed, соответственно, являющиеся измеримыми С-согласованными случайными процессами.
Рассмотрим уравнение
dXt = ot(X)dWt+bt(X)dt. (1.19)
Определение 1.1. Слабым решением уравнения (1.19) с начальным условием XGEd называется процесс X со значениями в Ed я непрерывными траекториями, определенный на некотором стохастическом базисе (Q, F, Р) с F-винеровским процессом W, такой, что X0=X P — п. н., X F — согласован и выполнено (1.19).
Обозначим а=-С)оа*
Определение 1.2 (раздел 6.0, гл. 6 [51])- Решением (а, Ь) — проблемы мартингалов называется P на (С, c^) такая, что для любой /бС02 (Ed) процесс
f (Xt)-H 1 +
0 Vr,/ = 1 ' ( = 1 J
является С-мартингалом.
Следующая теорема показывает, что в этих двух определениях речь идет фактически об одном и том же объекте.
Теорема 1.16 (предложение 2.1, § 2, гл. IV [3]). Распределение всякого слабого решения является решением проблемы мартингалов. Всякое решение проблемы мартингалов является распределением некоторого слабого решения.
Определение 1.3. Будем говорить, что решение уравнения (1.19) слабо единственно, если при любом xGEd все
55 слабые решения (1.19) с начальным условием X0=XGEd одинаково распределены в (CllSp).
Теорема 1.17 (следствие леммы 1.2, гл. IV [3]). Сильная единственность уравнения (1.10) влечет слабую единственность.
Следующая теорема показывает, что в вопросах существования и единственности решения (1.19) определяющую роль играет коэффициент а.
Теорема 1.18 (теорема 4.2, § 4, гл. IV [3]). Пусть с — ограниченная функция на [0, оо)ХС со значениями в Ed, являющаяся измеримым С — согласованным процессом. Существование (соответственно, единственность) решения уравнения (1.19) эквивалентно существованию (соответственно, единственности) решения следующего уравнения
dXt=at (X) dWt+[bt (X) +ot (X)Ct (X))dt.
Следствие. Если функция o~lb определена и ограничена, TOi существование (соответственно, единственность) решения уравнения (1.19) эквивалентно существованию (соответственно, единственности) решения уравнения без сноса
dXt = Ot (X) dWt.
3. Будем говорить, что функция f на [0, oo)X?d является марковской, если / зависит только от (/, X/).
