Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анулова С.В. -> "Стоханическое исчисление " -> 20

Стоханическое исчисление - Анулова С.В.

Анулова С.В., Веретенников А.Ю., Крылов Н.В., Липцер Р.Ш. Стоханическое исчисление — ВИНИТИ, 1989. — 260 c.
Скачать (прямая ссылка): ischesleniyastoh1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 93 >> Следующая


Теорема 1.6. Пусть выполнены условия

и

Тогда уравнение (1.3) — (1.4) имеет сильное решение и решение уравнения сильно единственно.

Идея доказательства состоит в использовании замены переменных Звонкина*', уничтожающей снос. При этом, правда, портится коэффициент диффузии, который в новых переменных уже не удовлетворяет, вообще говоря, условию Липшица. 'Гем не менее, оказывается, что он имеет производную, локально суммируемую в высокой степени, и это удается использовать в случае невырожденной диффузии. Здесь помогает оценка Н. В. Крылова распределения стохастического интеграла. Подробное доказательство (при несколько более жестких условиях на диффузию) см. в [5]. Сама замена переменных опирается на результаты о разрешимости задачи Коши для систем параболических уравнений — см. О. А. Ладыженская, В. А. Солон-ников, Н. Н. Уральцева [25] (где формулировки и доказательства относятся к краевым задачам), А. К- Звонкин [11]. В обеих указанных работах на матрицу оо* накладывается дополнительное условие равномерной непрерывности по (/, х). Необходимый результат без этого условия содержится в работе А. Ю. Веретенникова [6]. Близкие результаты (ио не для систем, а для одного параболического уравнения) установлены Струком, Вараданом в [52, Дополнение].

5. Уравнения с вырождающейся диффузией. Как обстоят дела с сильной единственностью и существованием сильного решения, если коэффициент сноса негладкий (измеримый), а диффузия может вырождаться? Мы приведем два варианта (частичного) ответа на этот вопрос. Первый результат является обобщением теоремы 1.6.

*' Замена переменных, уничтожающая снос, была известна и ранее (см. И. И. Гихман, А. В. Скороход «Стохастические дифференциальные уравнения».— Киев, Наукова думка.— 1968). А. К. Звонкин впервые применил эту замену для доказательства существования сильных решений.— Прим ред. Пусть d = Cf14- Gf2, где cf,, cf2 — натуральные числа,, C1: = , — (а^:! < /Cd,, KyCflf), а2: =(CT0:af, <г<^, 1 < j <d) bx\=(blA CZCcf1), b2: =^id1 <i <d), X1=U1, ...,xd), X2=

="(Xd'+\ ..., Xd).

Предполагается невырожденность матрицы O1O1*: для всех Ґ^ >0, x&Ed, IdEdl

^O1O1* (t,x)l^v |Я|2 (v>0). (1.7)

Лемма. Пусть выполнено условие (1.7), и все коэффициенты непрерывны по X2= (xd,+l, ..., xd). Тогда уравнение (1.3) — (1.4) имеет решение на некотором вероятностном пространстве.

Эта лемма (А. Ю. Веретенников [7, теорема 1], в однородном случае доказана Нисио [49]) позволяет, в силу теоремы Ямады — Ватанабэ, доказывать лишь сильную единственность, из которой следует существование сильного решения.

Теорема 1.7. Пусть выполнено условие (1.7), все коэффициенты удовлетворяют условию Липшица по переменным X2 с постоянной С, не зависящей от (^jc1), функции см, 02 и Ъ удовлетворяют условию Липщица ПО Xi с той же постоянной С, и функции U] (t, Xb • ) =OlOl* (t, Xu ¦ ) и bi(t,X 1, •) при всех t, Xi имеют две равномерно ограниченные и равностепенно непрерывные производные. Тогда уравнение (1.3) — (1.4) имеет сильное решение и решение сильно единственно.

Идея доказательства такая же, как и в невырожденном случае, однако теперь надо сделать преобразование лишь части координат. При этом возникает задача Коши для параболической системы уравнений, где остальные переменные выступают в роли параметров. Для применения формулы Ито и требуются две непрерывных производных по X2 от коэффициентов Й! и Ь\. Подробное доказательство см. в [7]. (Отметим, что в [7] пропущено условие равностепенной непрерывности ЧІ а\ (і,хі, •); кроме того, условия дифференцируемости в указанной работе наложены на аь а не на O1). Если O1 — симметричный, положительно определенный корень из 2аь то при невырожденной O1 эти варианты эквиваленты.

Таким образом, одна из возможностей для сильной единственности состоит в том, что по тем направлениям, по которым диффузия вырождается, предполагается дополнительная гладкость. Надо сказать, что эти предположения дополнительной гладкости вытекают из метода, и, возможно, они допускают ослабления.

Другую возможность предоставляет нижеследующая теорема 1.8, в которой приводятся результаты лишь для одномерного случая, поскольку многомерные результаты (см. М. Л. Клеп-цына, А. Ю. Веретенников [17]) имеют до сих пор гораздо меньшую общность. Итак, пусть cf=l, функция о представима

48 в виде

o(t,x)=oi(t,x)o2(t, Оз(х)), (1.8)

где Ol, 02, Оз— борелевские ограниченные функции, 01 И 02 удовлетворяют условию Гёльдера

I Gl (t, X) -о, (/, X') I + I O2 (t, X) -O2 (t, X') I X-X' I "2,

QsО, X, x'GE1, (1.9)

O2 отделена от нул.Я'-

inf <$2(t, .*)> О, (1.10)

t,x

a Ct3 — функция локально ограниченной вариации: для любого N> О

var Ct3 <оо. (1-11)

i-ar1ar]

Наконец, предполагается, что снос b(t,x) представим в виде

b(t,x)=$(i,x)+o(t,x)B(t,x), (1.12)

где ? и В — измеримые ограниченные функции, причем ? удовлетворяет условию Липшица

|?(/,x)-?(M')|<C|x-x'|, (1.13)

O= О, х, х'6E1. Никакая гладкость В не предполагается.

Теорема 1.8 (М. Л. Клепцына [15]). Пусть d— 1, и выполнены условия (1.8) — (1.13). Тогда уравнение (1.3) — (1.4) имеет сильное решение и решение уравнения сильно единственно.
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 93 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed