Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
2. О понятии слабого решения СДУ вида (1.1) — (1.2) фактически уже говорилось в § 4 гл. 1. В связи с понятиями сильного и слабого решения отметим, что Б. С. Цирельсоном построен пример одномерного СДУ вида (1.1) с единичной диффузией и ограниченным сносом (зависящим от всего «прошлого»), не имеющего сильных решений, но имеющего слабое решение.
В марковском же случае, т. е. для случая (1.3) (см. ниже) уравнение с единичной диффузией и измеримым, ограниченным сносом имеет единственное сильное решение.
3. Марковский случай. Теоремы Ямады — Ватанабэ. Рассматривается d-мерное уравнение
dxt=o(i,xt)dWt+b(t,xt)dt, (1.3)
с неслучайным начальным условием
X0=X. (1.4)
44 Здесь b, о — измеримые, ограниченные функции: b : R+XEd^>-a: R+XEd^EdXEd. Важное значение в теории сильных решений играет следующий принцип Ямада—Ватанабэ.
Теорема 1.3 (Ямада — Ватанабэ [58]). Пусть уравнение (1.3) — (1.4) имеет слабое решение и решение (1.3) — (1.4) сильно единственно. Тогда это уравнение имеет сильное решение.
Более подробное доказательство теоремы 3, чем в Ямада — Ватанабэ [58], можно найти в А. К. Звонкин, Н. В. Крылов [12]. Отметим, что схема доказательства применима в различных ситуациях: для СДУ с отражением, со скачками, в немарковском случае.
Теорема 1.4 (Ямада — Ватанабэ [58]). Пусть коэффициенты о и b ограничены и удовлетворяют условиям
||o(f, х) —О (t, х') II^Pi ( I X — х' I ) ,
|b(f,*)-b(f,*')l<P2(l*-*'l).
где pi, р2еС(^+; R+), Pi(O)=P2(O)=O, рь р2 возрастают и выпуклы вверх, и при любом е>0
= \ ^1=OO. (1.5)
J Pl (и) ' JPzW v '
о о
Тогда уравнение (1.3) — (1.4) имеет сильное решение и решение уравнения сильно единственно.
В частности, если о и b удовлетворяют условию Липшица
Ilo X) -a(t, X') 11+:\b (t, х)-b (t, х') |<L | х-*' |,
то условия теоремы 1.4 выполнены.
Существенно более слабые условия возможны в одномерном случае, d= 1.
Теорема 1.5 (Ямада — Ватанабэ [58]). Пусть d= 1, коэффициенты о и b ограничены и
і а (/, x)—a(t,x') I ^pi (Iх—х' J),
I b(t, x)-b(t,x') |<р2(|х-х'|),
где рь р2?C(R+; R+), рі(0)=р2(0)=0, рь р2 возрастают и выпуклы вверх, и при любом е>0
є е
Sdu, (' du ,і
-5—Nttt-;=00- (1-6)
р2(и) J P2 («) V
о n v ' о
Тогда уравнение (1.3) — (1.4) имеет сильное решение и решение уравнения сильно единственно.
Условие на модуль непрерывности pi выполняется, в частности, если I о (t, х) —a(t, х') I | х—х' |1/2.
Теоремы 1.4 и 1.5 доказываются с помощью подходящих приближений функции |«| и формулы Ито для выражения \xt—xt'\, где Xt, Xt'—два решения уравнения. Условия (1.5)
45 или (1.6) для pi, как оказывается, обеспечивают равенство нулю локального времени процесса \xt—xt'\, а затем некоторые известные неравенства в силу тех же условий (1.5) или (1.6) обеспечивают единственность (при условии Липшица, в частности, последний шаг обеспечивается неравенством Гронуолла — Беллмана). Подробные доказательства см. в Ямада, Ватанабэ [58], или Ватанабэ, Икэда [3].
4. Уравнения с измеримым сносом. В 1972 г. Накао [48] установил существование сильного решения (точнее, сильную единственность, из которой следует и существование сильного решения) одномерного СДУ
dxt = a(xt)dWt+b(xt)dt, х0 — х,
с ограниченными, измеримыми а и b при условии о{х)~^г>О и vara<oo с помощью красивых мартингальных методов.
В 1974 г. А. К. Звонкин [11] доказал аналогичный результат для одномерного уравнения
dxt = a(i, Xt)dWt-\-b(i, xt)dt, х0 = х,
с ограниченными (или линейно растущими), измеримыми коэффициентами при условии
а2(г,х)>е>0 и \a(t,x) —o(t, х') j ^L |х—х' j1/2
при помощи специальной замены координат, уничтожающей снос: оказалось, что данное преобразование (о нем см. ниже) сохраняет гельдеровский модуль непрерывности диффузии с показателем 1/2, т. е. сводит задачу к теореме 1.4 Ямады и Ватанабэ. В многомерном случае аналогичный результат о сильном решении А. К. Звонкин доказал в [11] при условии
Я*ао*(г, x)X^e\l\2 (е>0), \a{t,x)— a(t,x') |<L]x—х'\,
и условии Дини на коэффициент сноса:
I b(t, x)-b(t',x')\<^p{\x-x'\ + \t-t'\^),
где р(«)^0, U^0, функция р возрастает, выпукла вверх, р(0) = = 0, для любого е>0
Jtau-.,
о
и иа/р (и)—>-0, и-Ю, для всякого а>0. При таких именно условиях такая же замена координат оставляет диффузию липши-цевой, т. е. задача сводится к классической теореме Ито (уравнение с коэффициентами, удовлетворяющими условию Липшица).
В [4] для одномерного СДУ установлена сильная единственность в условиях, объединяющих условия Накао и Звон-кина. Мы не приводим здесь формулировку, поскольку в следующем разделе сформулирован очень близкий резуль-
46 тат для более общего случая с вырождением. Тем не менее, скажем два слова о доказательстве. Идея его предложена Н. В. Крыловым. Само доказательство опирается на оценку распределения стохастического интеграла и технику, примененную Ямада и Ватанабэ. Оказывается, что существуют максимальное и минимальное решения. Если они не совпадают, то это противоречит слабой единственности решения уравнения. Похожие построения использованы в Т. А. Торонджадзе, Р. Я. Читашвили '[34], [39]. В многомерном случае имеет место следующая
