Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
41 28. Liptser R. Sh., Shiryaev A. N. Statistics of random processes,— Springer,
1977,— 1, 395 c; 1978,— 2,— 339 c. ¦29. Tanaka H. Stochastic differential equations with reflecting boundary conditions in convex region // Hiroshima Math. Jj— 1979.— 9, № 1.— C. 163—178.
Глава 2
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ЭВОЛЮЦИОННЫЕ
УРАВНЕНИЯ
I. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (СДУ)
§ 1. Сильные решения стохастических дифференциальных
уравнений
1. Решение СДУ по винеровскому процессу называется сильным (ср. гл. 1, § 4), если оно согласовано с винеровским потоком а-алгебр. Другими словами, сильное решение — это такое решение, траектория которого до всякого момента t может быть представлена как измеримое отображение траектории винеровского процесса также до момента t. Помимо самостоятельного значения в теории СДУ, сильные решения играют большую роль в теории управления диффузионными процессами и в теории фильтрации. Теорию сильных решений к настоящему моменту, по-видимому, можно считать, в основном, построенной. Тем не менее, ряд важнейших вопросов в ней не разрешены. Один из основных нерешенных вопросов состоит в отыскании естественных условий достаточных для существования сильных решений СДУ, возникающих в теории фильтрации (проблема обновления). Марковский случай (см. ниже) изучен достаточно полно. Мы не касаемся здесь уравнений в бесконечномерных пространствах (этому, в частности, посвящен раздел II данной главы) и уравнений со скачками, уравнений по семимартингалам, и тем более по семимартингалам с многомерным временем. Далее излагаются теоремы о сильных решениях для СДУ с последействием и случайными коэффициентами, марковская теория для невырожденной диффузии и диффузии с вырождением, контрпримеры Цирельсона и Барлоу.
2. Уравнения с последействием. Пусть й, 8Г, Р) — полное вероятностное пространство, (Wt, STt)—d-мерный винеровский процесс на нем, b(t, л:) и o(t, л:) —измеримые отображения, b :R+XC[0, оо; EiY^Ei, a : R+XC[0, оо; E^EdXEd (пространство матриц размера dXd). Функции b(t, •) и a(t, •) предполагаются неупреждающими, т. е. HS[0, t\ ^-измеримыми при каждом t^O, где ЩО, t\ E*) — борелевская о-алгебра в С[0, t;
42 Ed] (совпадающая с о-алгеброй, порожденной цилиндрическими множествами в Cl[0, t\ Ed]). Рассматривается стохастическое диффеденциальное уравнение (СДУ)
dxt=o(t, X)dWt+b(t, x)dt, (1.1)
с SF0— измеримым начальным условием
X0=T1- (1.2)
Решение Xt называется сильным (strong), если при всяком t случайная величина Xt является SF Г'11 -измеримой. Иногда также сильным решением называют SF, — согласованное решение на заданном вероятностном пространстве; в этой ситуации употребляют еще термин «строгое решение» (strict solution), — мы используем его в теореме 1. В настоящем параграфе под сильным решением всегда понимается -согласованное, а если
W
начальное условие ц=х неслучайно, то SFt —согласованное. Решение называется сильно единственным или единственным по траекториям, если любые два решения на любом (одном и том же) вероятностном пространстве и с любым (одним и тем же) винеровским процессом совпадают. Напомним также, что решение называется слабо единственным или единственным по распределению, если закон распределения один и тот же для всех решений (в том числе на разных вероятностных пространствах). Напомним, что понятие решения, во всяком случае, предполагает, что для него определены соответствующие интегралы Ито и Лебега, входящие в (1.1), для чего достаточно, чтобы
P ^J I b(t, x)\dt + J Il ст(t, x)\\2dt < oo, vr>oj = l.
Теорема 1.1 (Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев [26, гл. 4]). Пусть неупреждающие функции o(t, х), b(t, х) удовлетворяют условию Липшица
I b(t, x) — b(t, x')f + II a(t, x)-c(t, x')\\2< t
<Lx\\xs-xsfdKs+L2\xt-xt\\ 0, о
и условию линейного роста
t
Ib(t, *)Р + ||а(*, xW<L^(\+\xs\2)dKs +
о
+I2(H-I^I2)1 t> o,
где L1, L2^0, K,(s^0)—неубывающая непрерывная справа функция, X, х'бС[0, оо; Ed]. Пусть ті—ST0 — измеримая случайная
43 величина, Р( І г) I <оо) = 1. Тогда уравнение (3.1) — (3.2) имеет строгое решение и решение сильно единственно.
Доказательство этой и других подобных теорем с условиями типа Липшица обычно основано на методе последовательного приближения и неравенстве Гронуолла—Беллмана. (см., например, Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев [26]). Такой же метод позволяет изучать и более общие уравнения по семимартингалам.
Во многих линейных задачах бывает полезен явный вид решения СДУ.
Теорема 1.2 (Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев [26, гл. 4]). Пусть a(t, x)s=a(t), b(t, х) = b0(t) +A1 (t)x{, где сy(t), b0(t), b\(t) —измеримые неслучайные функции, o(t) и bx(t) —матрицы размера dXd, b0(t) —d-мерный вектор,
(і M*)!+ !I мои+11 or (Oll2)dt < yT >o.
0
Тогда уравнение (1.1) — (1.2) имеет единственное сильное решение, которое представимо в виде
TJ +j Ф71 b0(s)ds + j O4T1C(S) dw
где Ф; — матрица размера dXd, являющаяся решением фундаментального уравнения
Ф< = Edxd +1 ^ (s)Q>s ds
(Edxd единичная матрица размера dXd).
