Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Понятно, как первые две возможности реализовать на языке стохастических дифференциальных уравнений. Для изучения эффекта отражения естественнее всего начать с одномерного винеровского процесса Wt, который мы хотим заставить «зеркально» отражаться в точке х = 0 так, чтобы он все время оставался на полуоси [0, оо). Разумеется, при этом получится процесс \Wt\. Так как нас интересуют стохастические дифференциальные уравнения, то нужно найти d\Wt\, т. е. представление I Wt I в виде суммы стохастического и обычного интегралов. Это можно было бы легко сделать по формуле Ито, если бы функция Ije I была дважды непрерывно дифференцируема. Возникшая трудность обходится с помощью приближения IXI гладкими функциями и оказывается, что
|И7(| = И7/+Ф„ (5.1)
где
t t '
-Wt = f Sign WsdWs, <pt = hm[w \ I (\Ws\<e)ds, (5.2)
о МО ^ <>
37 причем последний предел существует по вероятности. Он называется локальным временем процесса W в нуле. Из (5.1) видно, что ф, имеет непрерывную модификацию, а из (5.2) следует, что <р,^5=0, ср, не убывает,
t
о
т. е. ф< возрастает только на том множестве t, где |№(|=0. Кроме того, нетрудно убедиться, например, с помощью рассуждений о (4.1), (4.2), что W/—винеровский процесс. Отсюда, кстати, следует, что Еф( = Е|№<| и несмотря на то, что
t і
E j/([UTj I = OJrfs = j P (IWj 1 = 0)ds = 0, о о
т. е. лебегова мера (s : J WiJ=O) равна нулю (п. н.). Отметим, что локальное время W было введено Леви [16] по второй формуле (5.2) и что легче всего доказать его существование с помощью вывода (5.1) из формулы Ито. Значительную информацию о локальных временах можно найти в Ито, Маккин [13].
Теперь поставим задачу о нахождении уравнения, которому должен удовлетворять одномерный диффузионный процесс с коэффициентом диффузии а(х), «мгновенно» отражающийся в нуле и происходящий на положительной полуоси. Сказанное выше делает естественным задавать его с помощью уравнения
t
it = l0 + \a(ls)I{ls>Q)dWs + qt, (5*3)
о
где неизвестными являются ф(; о= У 2а, Wt— одномерный винеровский процесс, о отвечает за диффузию, когда процесс 5, находится вне нуля, ф( отвечает за отражение в нуле, этот процесс ищется в классе неубывающих неотрицательных, растущих только на множестве = Накладывается также естественное условие, чтобы ф( было таким, что 0 при всех 0, ф0 = 0 (и, разумеется, начальное данное I0^O). Наконец, требование «мгновенности» отражения выражается в требовании, чтобы процесс h проводил нулевое время в нуле, т. е. чтобы при любом і
t
j/(^==0)rfs = 0 (П.Н.). (5.4)
о
Таким образом, уравнение (5.3) является уравнением относительно пары процессов \и ф<( причем эта пара ищется в довольно сложном классе функций. Оказывается, что если, например, о непрерывна и <т(0)=й0, то при выполнении остальных условий на \t, ф( пара соотношений (5.3), (5.4) эквивалентна
38 одному
t
?, = ?„ +J + (5.5)
о
Кроме того, оказывается, что уравнение (5.5) в рассматриваемом классе функций gt, <р, эквивалентно двум соотношениям (формулы Скорохода)
If= I0-+ І оюdws - min |g0 + j a(|u)dWuj AoJ, (5.6)
cPt = - min ffg0<4-|а(У^ц)до). (5.7)
о<,<; IV о Jj
Здесь фактически имеется уже только одно уравнение (5.6) относительно I,, а (5.7) дает выражение ф через g. Разрешимость уравнения (5.6) можно доказать методом последовательных приближений для липшицевых о, аналогично доказательству теоремы 4.5.
2. В одномерном случае имеется только одно направление отражения. Уже в двумерном случае можно построить процессы, отражающиеся под разными углами на границе. Например, решим (одномерное) уравнение (5.3) в классе функций, удовлетворяющих всем перечисленным после него условиям, включая и (5.4), возьмем независимый от Wt одномерный винеровский процесс Wt и рассмотрим пару (gf, г|(), где r\t = Wt-\-ayt, <z=const. Оказывается, естественно считать, что процесс (gt, ті() является двумерным процессом в ?">+=.((х1, х2) : х'^0}, мгновенно отражающимся от оси X1==O под углом a = arctga. В самом деле, при Io-O имеем Egt = Eqjt, Еті, = аЕф4, Ег),/Еgt = a.
Общее стохастическое уравнение для диффузионного процесса в d-мерной области 3) с отражением по направлению 1{х), заданному на дЗ) и направленному внутрь 3>, выглядит следующим образом:
dlt=c(lt)I(ltG2))dWt+b(lt)I(lt&2))di+
+l(h)dq>t, (5.8)
причем ищется пара gt, фг такая, что цц не убывает фо = 0,
t t і Ф, = J/ (1,ед2>) dys, J / (Ш3>) ds = J р (gs) d%,
ООО
где ст, b, W — матрица, вектор и винеровский процесс соответствующих размерностей, р(х)—заданная неотрицательная функция. Функция р(х) характеризует время, которое процесс gt проводит на дЗ), если р=0, то получается «мгновенное» отражение и говорят, что граница дЗ) является «упругой», если
39 же р>0, то говорят об «эластичном» отражении, когда процесс It некоторое (реальное) время проводит и на дЗ>. Здесь уже имеется комбинация «прилипания» к границе с «мгновенным» отражением. Кстати, при I =0 получается остановка процесса It на границе. Более сложное поведение E1, на границе, включающее диффузию по дЗ), можно описать, если в правую часть (5.8) дописать слагаемые, содержащие некоторые мартингалы (см. Ватанабэ, Икэда [4]).
