Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Электрон в периодическом поле
1. Как показывают теория и опыт, многоэлектронная задача в кристалле во многих случаях может быть с достаточным приближением, рассмотрена как одноэлектронная. Другими словами, электроны в кристалле могут быть с хорошим приближением описаны уравнениями Хартри — Фока. Как должно быть в этом случае выбрано эффективное поле ^effO в (2.2а)?
Симметрия кристалла подсказывает, что ll^ir) должно обладать периодичностью кристалла.
В гл. II, § 9, п. 2 было показано, что волновая функция электрона в периодическом поле имеет вид (II.9.13)
¦фй (г) = Uk (г) еШг, (3.1)
где k—волновой вектор электрона, а амплитудная функция
и* (г+ (In) = Uk (г), (3.1а)
т. е. обладает периодичностью кристаллической решетки. Можно показать (Приложение 9), что блоховские волновые функции (3.1) подставленные в выражение (2.116), действительно приводят к эффективному полю (г), обладающему периодичностью кристалла, т. е. что решение (3.1) самосогласовано.
Волновой вектор электрона может быть представлен в виде (II.9.8):
ft = f oi+fA + f fs (?/ = 0, 1,2, ...,G-l), (3.2)
где G—большое (нечетное) число, a bx, Ь2 и Ъ3— основные векторы обратной решетки. Таким образом, k принимает G3 квазидискретных значений.
К этому же выражению для k мы придем, если выделим основную область кристалла в форме параллелепипеда с ребрами Ga1, Ga2, Ga3 и объемом V = G3Q0 (Q0 = (At1 [а2, а3])—объем элементарной ячейки кристалла), и потребуем, чтобы волновая функция (3.1) не менялась при смещении на вектор Gai (i = 1, 2, 3) (условия цикличности Борна — Кармана; см. гл. III, § 5, п. 6). Физически различные (неэквивалентные) значения к лежат§3] ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 207
в пределах (II.9.10):
—я < kat < я (» = 1,2, 3). (3.3)
Подставляя сюда (3.2), получим (11.9.10а)
-т < ft <4. <3-3а)
так что в области изменения вектора k (3.3) он принимает G3 квазидискретных значений.
В качестве наиболее удобной области неэквивалентных (разных) значений волнового вектора k, мы выберем бриллюэновскую зону, так как она определена в гл. II, § 9, п. 1.
Условия (3.2), (3.3) и (3.3а) совпадают с условиями (III.5.9), (III.5.24), (III.5.25) для волнового вектора q, что вполне естественно, так как само существование волнового вектора и его свойства обусловлены наличием трансляционной симметрии кристаллической решетки.
Если блоховская волновая функция (3.1) нормирована на основную область кристалла, то
S (г) (r)d3r = J I Uk (г) I2 d3r = l. (3.4)
V G3Qo
Так как | ик (г) |2 периодично с периодами основных векторов решетки, то из (3.4) следует
G3 J IU6 (г) \Ы3г = 1, (3.4а)
где интегрирование ведется по элементарной ячейке кристалла. В /Некоторых случаях представляется целесообразным ввести в/Олоховскую функцию в явном виде множитель G~3/2, т. е. /оложить
Ыг)=^Мг)е'*г- (3-5)
Тогда вместо (3.4а) получим
SlMDi2^r = I, (3.6)
?2„
в этом случае среднее значение
I ик I = МУЩ. (3.6а)
Подставляя блоховскую функцию (3.1) в уравнение Шредингера
—я; + V(г) грл = BtIp*, (3.7)208
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
где V (г) —периодический потенциал, действующий на электрон в кристалле, получим, после сокращения на множитель exp (ikr), следующее уравнение для uk(r) (Приложение 10):
+ V(г)Uk-i^-(U-Vuk) = Uk. (3.8)
Здесь Vuk = grad uk.
Для Л = 0 уравнение (3.8) переходит в уравнение fo
~2Гп V2«0 + V И U0 = E0M0, (3.8а)
совпадающее с уравнением (3.7) для
2. Изучение разных видов периодических полей (одномерные модели, случаи слабой и сильной связи) и общие соображения показывают, что не все значения энергии электрона Bk в (3.7) являются разрешенными. Энергетический спектр электрона в периодическом поле, в общем случае, распадается на разрешенные и запрещенные полосы или зоны энергии (не путать с бриллюэнов-скими зонами).
Другими словами, зависимость энергии электрона в периодическом поле от волнового вектора k (в пределах первой бриллюэновской зоны) не является однозначной функцией, а состоит из множества е„(й), где /г —номер зоны (полосы) разрешенной энергии. Ситуация аналогична образованию ветвей колебаний сOj (q) (/=1,2, ...,3s) (см. гл. III, § 5, п. 2) с тем только отличием, что число разрешенных зон энергии en(k) бесконечно велико.
Волновая функция электрона (3.1) будет зависеть не только от волнового вектора k, но и от номера зоны п, т. е.
4>лй (г) = Unk (г) exp (ikr).
Из физической эквивалентности волновых векторов k и ?' = = UjTbg (bg — вектор обратной решетки) следует, что все величины, зависящие от k, должны быть периодичны с периодами основных векторов обратной решетки bi (t = l, 2, 3).
В частности, для энергии гп(к) имеем
Ba (к+ bg) = Bn (к), (3.9)
что означает, что гп (k) может быть разложено в трехмерный ряд Фурье в й-пространстве:
е„ (*) = 2 с*'*"', (3-Ю)
где I ^= [I1, I2, I3) — целочисленные индексы вектора прямой решетки (1.3.1); в самом деле, заменяя в (3.10) k на k + bg подтвердим (3.9) (exp (ibgtti) = ехр (2ш' X целое число) = 1). Разложение (3.10) аналогично разложению (1.3.6) в г-пространстве.§3] ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 209