Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 75

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 217 >> Следующая


§ 3. Электрон в периодическом поле

1. Как показывают теория и опыт, многоэлектронная задача в кристалле во многих случаях может быть с достаточным приближением, рассмотрена как одноэлектронная. Другими словами, электроны в кристалле могут быть с хорошим приближением описаны уравнениями Хартри — Фока. Как должно быть в этом случае выбрано эффективное поле ^effO в (2.2а)?

Симметрия кристалла подсказывает, что ll^ir) должно обладать периодичностью кристалла.

В гл. II, § 9, п. 2 было показано, что волновая функция электрона в периодическом поле имеет вид (II.9.13)

¦фй (г) = Uk (г) еШг, (3.1)

где k—волновой вектор электрона, а амплитудная функция

и* (г+ (In) = Uk (г), (3.1а)

т. е. обладает периодичностью кристаллической решетки. Можно показать (Приложение 9), что блоховские волновые функции (3.1) подставленные в выражение (2.116), действительно приводят к эффективному полю (г), обладающему периодичностью кристалла, т. е. что решение (3.1) самосогласовано.

Волновой вектор электрона может быть представлен в виде (II.9.8):

ft = f oi+fA + f fs (?/ = 0, 1,2, ...,G-l), (3.2)

где G—большое (нечетное) число, a bx, Ь2 и Ъ3— основные векторы обратной решетки. Таким образом, k принимает G3 квазидискретных значений.

К этому же выражению для k мы придем, если выделим основную область кристалла в форме параллелепипеда с ребрами Ga1, Ga2, Ga3 и объемом V = G3Q0 (Q0 = (At1 [а2, а3])—объем элементарной ячейки кристалла), и потребуем, чтобы волновая функция (3.1) не менялась при смещении на вектор Gai (i = 1, 2, 3) (условия цикличности Борна — Кармана; см. гл. III, § 5, п. 6). Физически различные (неэквивалентные) значения к лежат §3] ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 207

в пределах (II.9.10):

—я < kat < я (» = 1,2, 3). (3.3)

Подставляя сюда (3.2), получим (11.9.10а)

-т < ft <4. <3-3а)

так что в области изменения вектора k (3.3) он принимает G3 квазидискретных значений.

В качестве наиболее удобной области неэквивалентных (разных) значений волнового вектора k, мы выберем бриллюэновскую зону, так как она определена в гл. II, § 9, п. 1.

Условия (3.2), (3.3) и (3.3а) совпадают с условиями (III.5.9), (III.5.24), (III.5.25) для волнового вектора q, что вполне естественно, так как само существование волнового вектора и его свойства обусловлены наличием трансляционной симметрии кристаллической решетки.

Если блоховская волновая функция (3.1) нормирована на основную область кристалла, то

S (г) (r)d3r = J I Uk (г) I2 d3r = l. (3.4)

V G3Qo

Так как | ик (г) |2 периодично с периодами основных векторов решетки, то из (3.4) следует

G3 J IU6 (г) \Ы3г = 1, (3.4а)

где интегрирование ведется по элементарной ячейке кристалла. В /Некоторых случаях представляется целесообразным ввести в/Олоховскую функцию в явном виде множитель G~3/2, т. е. /оложить

Ыг)=^Мг)е'*г- (3-5)

Тогда вместо (3.4а) получим

SlMDi2^r = I, (3.6)

?2„

в этом случае среднее значение

I ик I = МУЩ. (3.6а)

Подставляя блоховскую функцию (3.1) в уравнение Шредингера

—я; + V(г) грл = BtIp*, (3.7) 208

[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ

(ГЛ. JV

где V (г) —периодический потенциал, действующий на электрон в кристалле, получим, после сокращения на множитель exp (ikr), следующее уравнение для uk(r) (Приложение 10):

+ V(г)Uk-i^-(U-Vuk) = Uk. (3.8)

Здесь Vuk = grad uk.

Для Л = 0 уравнение (3.8) переходит в уравнение fo

~2Гп V2«0 + V И U0 = E0M0, (3.8а)

совпадающее с уравнением (3.7) для

2. Изучение разных видов периодических полей (одномерные модели, случаи слабой и сильной связи) и общие соображения показывают, что не все значения энергии электрона Bk в (3.7) являются разрешенными. Энергетический спектр электрона в периодическом поле, в общем случае, распадается на разрешенные и запрещенные полосы или зоны энергии (не путать с бриллюэнов-скими зонами).

Другими словами, зависимость энергии электрона в периодическом поле от волнового вектора k (в пределах первой бриллюэновской зоны) не является однозначной функцией, а состоит из множества е„(й), где /г —номер зоны (полосы) разрешенной энергии. Ситуация аналогична образованию ветвей колебаний сOj (q) (/=1,2, ...,3s) (см. гл. III, § 5, п. 2) с тем только отличием, что число разрешенных зон энергии en(k) бесконечно велико.

Волновая функция электрона (3.1) будет зависеть не только от волнового вектора k, но и от номера зоны п, т. е.

4>лй (г) = Unk (г) exp (ikr).

Из физической эквивалентности волновых векторов k и ?' = = UjTbg (bg — вектор обратной решетки) следует, что все величины, зависящие от k, должны быть периодичны с периодами основных векторов обратной решетки bi (t = l, 2, 3).

В частности, для энергии гп(к) имеем

Ba (к+ bg) = Bn (к), (3.9)

что означает, что гп (k) может быть разложено в трехмерный ряд Фурье в й-пространстве:

е„ (*) = 2 с*'*"', (3-Ю)

где I ^= [I1, I2, I3) — целочисленные индексы вектора прямой решетки (1.3.1); в самом деле, заменяя в (3.10) k на k + bg подтвердим (3.9) (exp (ibgtti) = ехр (2ш' X целое число) = 1). Разложение (3.10) аналогично разложению (1.3.6) в г-пространстве. §3] ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 209
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed