Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 73

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 217 >> Следующая


Метод Хартри—Фока основан на идее замены в гамильтониане Ж потенциальной энергии взаимодействия электронов некоторым эффективным внешним полем cUeff (г), в котором каждый электрон движется независимо. Поле cUett должно наилучшим способом описывать усредненное действие всех остальных электронов на данный. Гамильтониан системы равен теперь сумме гамильтонианов, каждый из которых зависит только от координат одного электрона, т. е.

N

§е=%&» (2.2)

ГДЄ -

Щ = - ~ VR V (г,.) + cUett (rf). (2.2а)

Ниже будет показано, как наилучшим образом выбирать поле cUett. Нетрудно показать, что уравнение (2.1) с гамильтонианом (2.2) имеет решение:

г,.....rN) = tpni (г,) ^na (г,) (гN). (2.3)

Индекс Tii у функции i|j„(. обозначает три квантовых числа, характеризующих квантовое состояние і-го электрона, определяемое уравнением

адя/r,.) = SniVni (Г,.), (2.3а)

где Sni—соответствующее ему собственное значение энергии. §2] МЕТОД ХАРТРИ — ФОКА 1В9

При этом полная энергия системы в приближении (2.2) равна

* =Sfl4- (2.36)

I= 1

В самом деле, подставим выражение (2.3) в уравнение (2.1) при условии, что &С равно сумме (2.2). Имеем

S W'l К C1) • • • % С,) • • • V Cjv) J = S К C1)... ^7v C7v)]

или

SKC1). • •^Сг-хИ^Ст). • -VCtv)]^,. C1-) =

= WniC1)-.-VCtv)].

так как оператор §б\ действует только на координаты г'-го электрона. Используя (2.3а), получим

S К C1)... V C7v)] S4 = S К C1)... V Cjv)].

Сокращая обе части равенства на K1C1)-. -1K7vCtv)]. получим выражение (2.36).

Так как | г|з„ (г,-)21 — плотность вероятности нахождения г-го электрона в точке пространства г,-, то мультипликативный характер решения (2.3) характеризует с точки зрения теоремы об умножении вероятностей независимый характер движения во внешнем поле V+ Ilett не взаимодействующих друг с другом электронов.

2. Поставим теперь задачу наилучшего определения cUttt (г) в приближенном гамильтониане (2.2а). Как мы увидим, это можно будет сделать на основе некоторой самосогласованной процедуры.

Для того чтобы дальнейшие выкладки были менее громоздки, проведем их для системы из Nз®2 электронов, а ватем обобщим результаты на произвольное число электронов N. Для двух электронов выражение (2.3) имеет вид

У>Сі, r2)=*fni C1K C2).

Мы должны теперь учесть, что состояние электрона характеризуется наряду с тремя пространственными координатами X, у, г (=s г) значением проекции собственного (внутреннего) момента количества движения (спина) Sz на некоторое заданное направление (например, ось 2), Теория и опыт показывают, что Sz принимает для электрона только два значения +%? и —%/2\ если мы положим Sz = s%, то спиновая координата S = +1/2 или S = —1/2. В соответствии с этим мы введем спиновые функции V,. (s) (i = 1, 2), где индекс і Характеризует спиновое состояние; 202 [ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ (ГЛ. JV

г = 1 для Sz = K/2 и 1 = 2 для Sz = -Ii/2, так что

V1(V2) = I, V1 (-V2) = 0, V2(V2) = O, v2 (-V2) = 1. (2.4)

При таком определении спиновые функции ортонормированы, т. е.

2 V? (s) Vft (s)= 6/А. (2.5)

s=±7>

Если не учитывать взаимодействие магнитного момента электрона (связанного со спином) с магнитным полем, создаваемым его орбитальным движением, то полная одноэлектронная волновая функция 1-го электрона, находящегося в (пе, k) = /-квантовом состоянии, равна

Аргумент I у функции фу обозначает совокупность четырех координат 1-го электрона: трех пространственных X1, уг, z, и спиновой S1. Предполагая волновые функции ортонормирован-ными, получим /

S ф- (I) Ф/. (/) dxt = S drt 2 (T1) (T1) Xk (S) Vft, (S) =

= o,pkk, = Sir. (2.7)

її

Здесь символ J dxt означает интегрирование по пространственным координатам X1, yt, Z1 и суммирование по спиновой координате s.

Согласно принципу Паули полная волновая функция системы должна быть антисимметрична, т.е. при перемене пары электронов местами (при перестановке их четырех координат) должна менять свой знак. Для двух электронов (N = 2) такая волновая функция имеет вид

Cp1(I) Cp1 (2)

Ф(1, 2)=-Д=-{ф1(1)ф2(2) —Фі(2) ф2(1)}

ср2(1) ср2 (2)

. (2.8)

^iyiwy'1"' yi^y2v'" У~2\

В самом деле, Ф(2.1) = — Ф(1.2). Множитель 1/J/2 введен для нормировки волновой функции системы. Используя соотношение (2.7), легко показать, что

$Ф*(1, 2)Ф(1, 2)dxldxi=\. (2.8а)

Антисимметричная форма выражения (2.8) автоматически обеспечивает требование принципа Паули, согласно которому в одном квантовом состоянии не может находиться больше одного электрона. В самом деле, если Ф! = Ф2, то Ф = 0.

Обобщая определитель (2.8) на N электронов, получим правильную антисимметричную волновую функцию для системы из N §2]

МЕТОД ХАРТРИ — ФОКА

1В9

электронов:

ф(1, 2, 3, ..., N):

у n\

Фі(і) Фі(2) .. • фі(ло
ф.(1) ф»(2) •• . Ф. (W)
ФЛЧ1) fe; е- . ф N(N)

(2.86)

удовлетворяющую принципу Паули.

Если обменять в этом выражении координаты пары электронов, например 1ї=ї2, то это эквивалентно перестановке двух столбцов определителя, а при этом он изменит свой знак, т. е. Ф(1, 2, 3, . . ., N) = — Ф(2, 1, 3, ..., N). Если считать два квантовых состояния совпадающими, например Cp1 = Cp2, то две строки определителя равны, а в этом случае Ф = 0. Множитель обеспечивает нормировку функции Ф(1, 2, ..., N) при условии (2.7).
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed