Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
1. В этом параграфе мы покажем, что многие особенности колебаний одномерной (линейной) атомной цепочки имеют место и в случае трехмерной кристаллической решетки.
Рассмотрим сложный кристалл с s различйыми (в общем случае) атомами в элементарной ячейке, имеющими массы mk (ft = 1, 2, ..., s). В дальнейшем мы будем рассматривать основную область кристалла объема V, имеющую форму параллелепипеда, построенного на вейТЬрах Gai (i = l, 2, 3), где а,- — трансляционные векторы прямой решетки, а G—большое нечетное число. Очевидно, что V = G3 ((I1 [a2a3]) = G8Q0 = NQ0, где Q0— объем элементарной ячейки и N = G3. Положение атома ft-ro сорта в п-й элементарной ячейке определяется радиусом-вектором
rkn=an + rk, (5.1)
где а„ = Ii1Ul + ща2+п3а3— вектор прямой решетки, а гк—радиус-вектор, определяющий положение ft-ro атома внутри кристаллической ячейки.
Обозначим через иk смещение ft-ro атома п-й ячейки из положения равновесия, а прямоугольные проекции этого смещения— через Ukna (а = X, у, z).
Потенциальная энергия Ф основной области кристалла является функцией 3sN смещений Uka и, очевидно, обладает минимумом при Ukno, = 0; так что =0.
\дипа./о 134 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
Разложим Ф в ряд по степеням проекций смещений Ukna:
nn'kk'a? ' nn'n"kk'k" 4 '
a?v
(5.2)
Мы положили потенциальную энергию в минимуме равной нулю и ввели следующие обозначения:
(kk' \ ( д2Ф \ т f kk'k"\ ( дЗф ч
Можно показать, что коэффициенты разложения (5.2а) удовлетворяют соотношениям:
(?)-<¦* {п-п'); ^v(S)=^v (._ -LJ.
(5.3)
Oa?(^)=O?aQ, (5.3а)
f kk' \ п v ^ fkk'k" .и. . .,и,и» snn'n"
n'k' n'n"k'k"
Равенства (5.3) следуют из того, что коэффициенты, определяющие взаимодействие атомов, зависят только от их сорта (k, k') и от расстояния между соответствующими ячейками (п—п', п—я"). (5.3а) непосредственно вытекает из определения (5.2а). Для доказательства (5.36) разложим в ряд по смещениям атомов функцию дФ Iduna.
дФ / а® \ , г, / дгФ \ к
E ^a? U'J=0' ? InJn")=0- (5-36)
*4. (^?(??!^
+ iE (я * Г* ЯА (5-4)
. ООО n"k"y
Пусть все атомы испытали одинаковое смещение, равное и0; тогда кристалл сместился в пространстве как целое и изменение всех функций, зависящих от взаимного расположения атомов, равно нулю, т.е. 0Ф/0г4а = 0 (из условий равновесия Л—гЛ =On); таким образом, из (5.4) следует:
\KJo J
? n'k< v / ?v n'n"k'k" 4 '
Отсюда, ввиду независимости проекций «g и U0yt следуют 5 5] ТРЕХМЕРНАЯ СЛОЖНАЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА 135
соотношения (5.36). Кинетическая энергия движения атомов равна
c#- = l^/nft("»)3=-jVmft(«L)2. (5-5)
nk nka
2. Классические уравнения движения атомов в гармоническом приближении имеют вид
= - = - Б (knn>) Ukn'? (5.6)
иипа n'k'? 4 '
(я== 1, 2, 3.....N; k = 1, 2, 3, . .., s; а = х, у, г),
т. е. совокупной системы 3sN дифференциальных уравнений для 3sN неизвестных функций Ukna (t).
Аналогично сложной линейной решетке (см. (3.2)) ищем решение системы (5.6) в виде бегущих волн:
~к 1 ЛЬ ! \ 1 (qan - /Г. 74
una = -=Aka{q)e , (5.7)
У тк
где -L=A^ (а = х, у, г) проекция комплексной амплитуды
У тк
¦ 1_Ak, различной для разных сортов атомов (?=1,2, ...,s),
Vtnk
q=-J--V — волновой вектор (v — единичный вектор нормали к плоской волне, длина которой равна Я) и о) = со (q) == — циклическая частота. Величины Uknrx комплексны, так что реальные смещения «na=Re (una). Мы можем искать решение уравнений (5.6) в комплексной форме (5.7), состоящей из суммы косинуса и синуса в силу линейности (5.6). Так же как и в одномерном случае, волновой вектор q обладает свойствами, обусловленными тем, что плоская волна (5.7) распространяется в дискретной системе (решетке). Заменим в (5.7) q на q' =QjTbg, где bg = g^+gzbz + g3b3 — вектор обратной решетки; тогда q'all = qan + 2n(nygy-\-nig2 + n3g3) = qan + 2nk (k—целое число). Таким образом, из (5.7) следует:
(йпаУ = АУ - и'> = - J= AhJ <*«» - 05Vllfe = Ukna, (5.8)
У mk У mk
так как ei2nk=\. Из (5.8) видно, что волна с волновым вектором q' совпадает с волной с вектором q. Но это означает, что вектор q' физически эквивалентен вектору q. Это позволяет, так же как и в одномерном случае, рассматривать изменения волнового вектора q в ограниченной области. Полагая Cin = Cii и bg = bt, получим q'ai = (q + bi)ai = qai + 2n. Отсюда видно, 36 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
что величина qat всегда может быть выбрана в интервале 2л. Мы положим
— я<?а;< + я (/=1,2,3)1). (5.9)
Для кубического кристалла
—-+ (а = х, у, г), (5.9а)
если прямоугольные оси координатной системы направить по ребрам кубической ячейки.
Для произвольной решетки область изменения qah равная 2я, может быть выбрана в виде элементарной ячейки обратной решетки, т. е. в форме параллелепипеда с ребрами A1, Aa и A3, или в симметричной- форме в виде первой бриллюэновской зоны (гл. II, § 9, п. 1). Подставляя (5.7) в систему (5.6) и деля обе части уравнения на множитель е1 ~ , нолучим
