Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
4. Аналогично тому, как было сделано в § 2 п. 3, можно и в случае сложной решетки ввести циклические условия Борна— Кармана (2.7), где теперь G—число ячеек основной области.
Можно определить плотность числа колебаний ^ для акустической и оптической ветвей подобно тому, как мы сделали в (2.10).
§ 4. Нормальные координаты для простой одномерной решетки
В § 2 мы рассмотрели колебания и волны в линейной цепочке из одинаковых атомов и показали, что выражение (2.4) удовлетворяет уравнениям движения (2.1), если выполнены соотношения дисперсии (2.5). Очевидно, что гармонические волны (2.4) не описывают наиболее общего движения атомов цепочки. Произвольное движение атомов может быть представлено посредством линейной суперпозиции (суммы) всевозможных волн типа (2.4). Отдельные волны будут при этом отличаться волновым числом q, соответствующей ему частотой со (q) = со^ и амплитудой Aq, обычно различной у разных волн. Положим реальные вещественные смещения атомов цепочки
Un= А^чап-щі) A*e-Hqan-®qi) = 2 | | COS (qatl — (aqt-j-aq),
где Aq = I Aq\eiaq. S 4] НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕШЕТКИ 131
Таким образом, в наиболее общем случае движения атомов
ип = 2 {A ^an+ А* е~ i^an-aQt)) =-L^ ^ {а/чап a'e-t«"1}, Q ' 0 Я
(4.1)
где aq = YGAQe-iaQi. При этом мы предполагаем, что на решетку наложено условие цикличности, так что суммирование в (4.1)
2я
производится по G дискретным значениям q = ^g (см. (2.8)).
Как мы увидим ниже, величины aq или, точнее, некоторые простые комбинации из них, являются нормальными координатами и соответствующими обобщенными импульсами нашей линейной атомной цепочки (Приложение 5). Таким образом, соотношение (4.1) можно рассматривать как преобразование от координат м„ к нормальным координатам и импульсам aq (величины aq комплексны, поэтому им соответствует 2G вещественных величин). Это преобразование имеет несколько более общий характер, чем рассмотренное в Приложении 5, так как в (4.1) старые координаты ип выражаются одновременно через новые нормальные координаты и соответствующие им импульсы (касательное или контактное преобразование1)). Кинетическая энергия S~ и потенциальная Ф для атомной цепочки равны
Л=1
л=1
В самом деле, из (4.3) следует, что сила, действующая на п-ю частицу,
= —= —Р(2и«—"»-1—"я+і).
совпадает с (2.1).
Используя (4.1) и учитывая, что aq= —^qaq и aq = mqaq, получим, что кинетическая энергия
а
X TfS fae"™+ aq,e-«'™} = - gX ? CO9OV \aqaq.e^^')an_
' U q' qq' /1=1
— ача',е^-Ч'т _a*a4,e-l(q-qnan + a'a*ie-i(q+q')an^ (4.4)
*) Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М./Теоретическая физика, т. 1. Механика,—4 изд.—M.: Наука, 1973, гл. VII. 132 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
Легко показать (см. Приложение 6), что
о о . 2л ( 0. когда q=?0 (или g^O),
Уеі<,аП== yel GSn =J , 2я N (4.5)
t=\ I G, когда <7=0 f или — x целое число J.
Таким образом, при суммировании по п первого слагаемого в фигурной скобе (4.4) получим
° { 0 при q + я'ф 0,
yei(q + q')an = ) V 4 ^4 ' /4 6)
„tT \ G при q + q' = 0 (или q' = -q). ^0'
Аналогично суммируются по п второе, третье и четвертое слагаемое в фигурной скобке в (4.4). Учитывая, что, согласно (2.5), (о_д = (йд, получим
^ = 1T S fflS (2fl^;--flefl-e'-Wqulq). (4.7)
<7
Выразим теперь потенциальную энергию (4.3) через величины aq и aq. Подставляя в (4.3) ип и Un^1 из (4.1), получим в о
Ф = | E(Bb-U8-I)(Ub-Ub-I)^ISE [a/^ + flJe-"»»-
n=l qq' n—i
—aqe-i(iaeician—a%eiciae-i4an~\ [aq-eili'an + aq,e~ii'an — aq'e-iti'aei'>'an — Перемножая квадратные скобки и группируя слагаемые, получим
g
2 {a9*q- (1 -\-е-^Ч + Ч')а — е~1Ча — e~iq'a^ei(q + q')an Jr п= 1
+ aqa*q> (1 + е'(<7'~ч)а — ес"'а — е~ 1"а) е^Ч- 1')ап +
jTClfaq' (1 + — e~i</ a — Єі(/а) Єі(Ч'-Ч)ап
+ aqa*q, (1 -\-еій+і')а—еі(>а—еІ!>'а)е-і(і+ї)ап}.
Учитывая условия (4.6), видим, что при суммировании по п мы получим результат, отличный от нуля и равный G только в тех случаях, когда q' = — q или q' = -\-q. При этом все круглые скобки становятся равными
2—е-'««—е*««= 2 (1 —cos qa) = 4 sin2 Щ- = r^ t
л р
как это следует из (2.5). Таким образом,
ф = T E (ад + а«а-ч + Wqalq). (4.8)
_ ч
Полная энергия
? = ^ + 0 = 2^2(0^. (4.9) 5 5] ТРЕХМЕРНАЯ СЛОЖНАЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА 133
Определим величины Xg и P4 посредством равенств
*e = fl, + a; = 2Re{a,}, Pq--^K-Oj) = 21m {aq\. (4.10)
Отсюда
аа = і(ха+і—)> = — (4.10а)
і 2 V ч 1 TfiiHqJ ' 4 2 \ ' яіш?/ v '
Подставляя эти значения в выражение (4.9), получим
(4-11)
д V '
Мы видим, что величины xq и pq==mxq играют роль нормальных координат и сопряженных им импульсов. Выражение (4.11) представляет собой функцию Гамильтона, выраженную в этих переменных. Таким образом, полная энергия S наиболее общего движения атомов одномерного кристалла может быть представлена как сумма энергий нормальных колебаний ведущих себя подобно линейным гармоническим осцилляторам с частотами COg.
§ 5. Колебания атомов трехмерной сложной кристаллической решетки
