Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
соак да-J CO0Ya? coq, сооп да со0 (1—^fV) . (3.7)
Беря производную по q от coli2* (см. (3.5)), легко показать что
*0ак\ _ ( d(?>on \ =q
dq jn/a V dq }я/а '
если Y2=^l. Используя это обстоятельство и равенства (3.6) и (3.7), мы приходим к однозначному ходу дисперсионных ветвей,
1J При алгебраических преобразованиях мы пользовались соотношениями:
-<«« = 2 cos aq и 1—cos aq = 2 sin2 ^ • 128 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
изображенному на рис. 111.8, а. Такая картина имеет место, когда Y2 < 1, а для этого достаточно, чтобы или т' Фт", или ?i =T^Pa- Подчеркиваем еще раз существенную особенность акустической и оптической ветвей: при А,->оо частота о)ак->0, а <й0ио>о?=0-
Рассмотрим «вырожденный случай» (рис. III.8,б), когда т' = S=m" = m и ?i = ?2 = ?, т. е. Y2=I; из выражений (3.5) следует:
<oaK = 2/rjsinf|, Шоп = 2/Г|соз?|. (3.8)
В этом случае тождественности атомов и одинаковости связей расстояния между всеми атомами должны быть равны, и, следовательно, постоянная решетки в наших обозначениях равна
Рис. III.8.
а/2, т. е. вдвое меньше старой. Мы должны теперь рассматривать изменение волнового числа q в интервале ^ О, . Легко видеть, что о)ак в (3.8) соответствует со (q) в выражении (2.5) для интервала (0, у^д) > а Чш—также &(q) в выражении (2.5) для
интервала ^ щ, с эквивалентным значением q, равным
, 2я
q =--q; в самом деле,
aq' ( п aq\ . aq
COS^. =cos^___2j=sln-I.
3. Исследуем характер колебаний атомов в акустической и оптической ветвях. Из соотношений (3.2) и (3.4) следует:
и'п A' ?i+?
"^-(?x + ?^-m'a2- ^y'
Отметим, что для q = 0 и q = я/а множитель е-'«0 = 1 и e~lqa =—1. В обоих случаях, как это видно из равенства (3.9), амплитуды Л' и Л" и смещения Un и ип можно считать вещественными. $3]
ВОЛНЫ B СЛОЖНОЙ ОДНОМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ
129
Рассмотрим вначале важный случай длинных (строго говоря, бесконечно длинных) волн:
л 2л „
В этом случае е~1"а = е°=1. Используя выражения (3.6), т. е. предельные значения частоты со для q = 0, получим из (3.9)
Un \ і (и'п \ т'
= 1, (3.10)
Un /ак \ Un / оп т
Таким образом, в бесконечно длинной волне акустической ветви колебаний атомы движутся синхронно и отклонения в каждый момент времени одинаковы (и'п = U^1). В бесконечно длин -ной оптической ветви колебаний атомы ячейки колеблются в иротивоположных фазах, так что их центр тяжести остается неподвижным (т'и'п-\-т"и"п = 0). Движение атомов в первом случае соответствует тому, что имеет место при распространении упругих акустических волн, чем и объясняется название соответствующей ветви колебаний. Если ячейка сложного кристалла состоит из разноименных ионов, то колебания второго рода связаны с изменением электрического дипольного момента ячейки и часто являются оптически активными, т. е. проявляются в поглощении и испускании инфракрасного излучения. Этим объясняется, что вторая ветвь колебаний называется оптической. Рассмотрим теперь случай коротких волн:
Я = 2 a, q = 2л/% = л/а.
В этом случае е~1а"=е-{л = —1. Используя выражения для со (л/а) (см. (3.6)), получим из равенства (3.9)
(Pi-P»)
Un _ _(?l + ?2)_
. m'-f- т" 2irf~
^yr 1--Ml
(3.11)
(?i + ?2)2(m'+my
где верхнии знак перед корнем соответствует акустической, а нижний знак—оптической ветви колебаний. В данном случае представляется целесообразным рассмотреть ряд частных случаев.
Если P1 = P2, то числитель в (3.11) равен нулю, а знаменатель отличен от нуля и равен (т"—т')/т" для акустической ветви (в случае m'<m"), а для оптической — в случае m'>m". Отсюда можно заключить, что
Un = O, и'п-5^=0 для акустической ветви в случае m'<m", „ и'п = 0, и'пФО для оптической ветви в случае т'>т". * ' }
Для предельно коротких волн % = 2а в акустической ветви неподвижны более легкие атомы т', а колеблются более тяжелые т". В оптической ветви колебаний — наоборот. 130 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
оказался
Мы рассмотрели для акустической ветви случай т' < т" для оптической—случай т' > т". Сделали мы это только для удобства. Если бы мы предположили для акустической ветви (верхний знак перед корнем в (3.11), что m'>m", то знаменатель
бы равным нулю и (-?') = -^- Раскрыв неопределенная/
НОСТЬ, МЫ убедились бы, ЧТО В ЭТОМ случае ( ) = оо, Т. е. и'пфО
\ип/
и Un = 0. Но это привело бы нас к прежнему физическому заключению, что в акустической ветви неподвижны более легкие атомы tri', а колеблются более тяжелые т'.
Рассмотрим теперь второй частный случай: т'=т" и ?t > ?2.
Знаменатель в (3.11) равен 1 — 1+ ^Г»^ = ± 1^iP1 Го^'.т-е-
Pl + Р2 Pl+ Р2
отношению (?j — ?2)/(?i+?2)—ДЛЯ акустической ветви и для оптической ветви—(?j—?2)/(?1 + ?2). Таким образом,
ф) =1 и i?) = "1' (3-13) \ п/ ак \ п/ оп
т. е. в этом случае атомы в предельно короткой акустической волне колеблются в фазе, а в предельно короткой оптической волне в противофазе. Аналогично можно рассмотреть случай ?j<?2; тогда правые части равенств (3.13) меняются местами.
