Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
ttW
Рис. III.5.
Рис. Ш.6.
Ё—модуль Юнга, а р — плотность. В случае линейной атомной цепочки р = m/a,
относит, удлинение
_ \fn.n-
un-un-11 а
= ?a,
откуда
v0=VE/p = aV?/m Для длинных волн или малых q из (2.5)
т 2
= V0Q-
(2.11) (2.12)
1J Хайкин С. Э. Механика./Общий курс физики,—2 изд.—M.; Гос-
техиздат, 1948, т. 1, S3]
ВОЛНЫ В СЛОЖНОЙ ОДНОМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ
125
В общем случае, когда имеет место дисперсия волн, т. е. частота а> зависит от волнового числа q, надо различать фазовую скорость Уф, с которой распространяется фаза монохроматической волны, и групповую скорость угр, с которой распространяется волновой пакет и, следовательно, энергия волн. Известно г), что
оф = «а/І9І, (2.13)
vrv = \d(i>/dq\. (2.14)
Из выражения (2.12) видно, что для длинных волн
иФ = игр = vo = скорость звука.
В общем случае не малых q, согласно (2.5),
aq
°Ф = °о
гр '
COS
aq_ 2
aq
(2.15)
(2.16)
На рис. III.б представлена зависимость уф и Vrp от волнового числа q. Следует отметить, что групповая скорость, с которой переносится энергия колебаний, для наиболее коротких волн падает до нуля.
§ 3. Колебания и волны в сложной одномерной (линейной) решетке
1. В предыдущем параграфе мы рассмотрели движение атомов в одномерной модели простой решетки, когда элементарная ячейка может быть выбрана так, чтобы в ней содержался один атом. Трехмерным аналогом таких решеток являются, например, гранецентрированная и объемноцентрированная кубические решетки, в которых кристаллизуются большинство металлов. Рассмотрим теперь колебания в одномерной модели сложной решетки, когда ее элементарная ячейка содержит два атома. Ионные кристаллы NaCl, CsCl и атомные кристаллы Si и Ge являются примерами решеток, у которых элементарная ячейка содержит 2 атома.
2. На рис. III.7 изображены узлы сложной линейной решетки. Узлы п' заняты атомами с массой т', а узлы п" — атомами с массой т". Для общности будем предполагать, что коэффициент квазиупругой силы между атомами п' и п" равен P1, а между
Блохинцев Д. И., § 7. 126 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
атомами п' и и"—I равен ?2. Последнее может иметь место ив том случае, когда решетка состоит из атомов одного сорта (в этом случае т' = т"). Длина масштабного вектора решетки а равна расстоянию между узлами п' — 1, п', ... или уз-
лами п" — 1, п", п" -fl, .... Поэтому элементарная ячейка «объема» Q0 = а содержит два атома. Обозначая смещения п'-го и п"-го атомов через и'п и ип, получим при учете взаимодействия
п —/ n"-f П' п" п+/ /?"+/
-M-1-К-1-К-1-
Рис. III.7.
только ближайших атомов, в приближении квазиупругой силы, следующие уравнения движения (см. § 2, п. 1):
m"u"n = — ?j (un—un) —?2("n—"«+і)- '
Попытаемся удовлетворить этой системе уравнений, полагая
Un = AV^a"-и"п = AV^-fflO, (3.2)
где q и со — волновое число и частота (одинаковые в обоих выражениях): а А' Ф А" — амплитуды.
Подставляя (3.2) в уравнения (3.1), получим после простых преобразований и сокращения обеих частей равенств на множитель е*(чап- at).
(3.3) (3.3а)
Л'+ [^
[ъф] *+[«>-
f
tn'
_?i+jV
т"
A" = Q, A" = Q.
Мы получили систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных, вообще говоря, комплексных амплитуд А' и А". Очевидно, что из такой системы можно определить только отношение А'/А", так как с А' и с А" (с = const) также удовлетворяют уравнениям (3.3) и (3.3а). Для совместного решения (3.3) и (3.3а) необходимо, чтобы отношение А'/А", определенное из каждого уравнения, было одинаково, т. е.
A' ?1 + ?2g-^ (?1 + ?2)._wvi
А" (?i+?a)-m'co2 ?i + ?2e""? • ^0'' '
Полученная пропорция (3.4) приводит к алгебраическому §3]
ВОЛНЫ В СЛОЖНОЙ ОДНОМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ
127
квадратному уравнению для со2. Корни этого квадратного уравнения
co2 = -Uo{l- У 1—Y2Sin2Yf' ,
2 1 у 2> (3.5)
со:
= Ico20 jl + |/ l_Y.sin»f},
где (О2 - (Pi+ ?«) И' + "') и v2 = 16 \-MlJ Г т'т" 1 Beличи-гдес°0- т'т" HY L(?i + ?2)2J 1(т' + т'УУ селичи на у2 достигает своего наибольшего значения, равного единице,
при P1 = P2 и т' = т". Отсюда видно, что Y2 si"2 у ^ 11 что обеспечивает вещественность частот Co1 и со2.
Мы видим, что аналогично случаю простой линейной цепочки (§ 2) решение (3.2) удовлетворяет уравнениям движения (3.1), если со и q связаны законом дисперсии (3.5). Однако имеется и важное различие по сравнению с предыдущим случаем. Так, выражения (3.5) определяют две ветви дисперсии, одну из которых co1 = coalf мы по причинам, указанным ниже, будем называть акустической, другую со2 = со0[1—оптической.
Рассуждая так же, как в п. 2 предыдущего параграфа, можно показать, что характер решения (3.2) позволяет ограничиться при рассмотрении изменения q интервалом (0, л/а). Из выражения (3.5) следует, что для ? = 0, л/а:
соак(0) = 0, соак (я/а) = J і _yiZZy* ,
а —= (3-6)
Ю0П (O) = O0, ®оп (л/а) = у= Y 1 + j/l—Y2-
Отсюда видно, что
®оп (0) = ю0 > ®оп (л/а) > ®ак (л/а) > (0ак (0) = 0. (3.6а) Для длинных волн К^>а или aq<^\ из выражений (3.5) в приближении sin у да ~, следует, при разложении корней в ряд:
