Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Попробуем систему {2.1) решить посредством подстановки
Un = AeiCan-atK (2.4)
где вместо непрерывной координаты X стоит дискретная величина ап(а—расстояние между узлами). Амплитуда же Л от номера узла п не зависит. Подставляя (2.4) в (2.1), получим после сокращения обеих частей на Aei (чап-at)
—та)2 = —? (2—е~'4а—е'ч"). Воспользовавшись соотношением cos a = V2 (e~ia +e+la), получим
и2 = 2 — (1 —cos да) = 4 Sina т v 4 ' т
или
С0 = Ш„
. qa
Sin-Tjj-
, , па = CDfflISinlrI
(2.5)
S3U 2 d*U
1J Уравнение свободных колебаний струны имеет вид: "gjS" «
где H0= ro—натяжение, р—линейная плотность струны. Cm4
Смирнов В. И. Курс высшей математики—21 изд.—M.: Наука, 1974, т. 2, $ 17, п. 176. 122 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
где _
Om = 2 K?/m. (2.5а)
Мы видим, что решения (2.4) типа бегущей волны удовлетворяют уравнениям (2.1) для любого п, если частота ш связана с волновым числом q (или длиной волны К) соотношением дисперсии (2.5). Таким образом, в дискретной атомной цепочке имеет место дисперсия, т. е. частота со не пропорциональна волновому числу q, как это имело место для непрерывной струны.
Заменим в выражении (2.4) q на q' = q-{-^~, где g—целое положительное или отрицательное число. Новая волна U'n = Aeiil'an-at) _ Деі (qan-at)ei2Kgn _
так как exp (i2ngn) = exp (і2я х целое число) = 1.
Таким образом, волна и'п тождественно (во всех точках и во все моменты времени) совпадает с волной ип. Но это означает, что q и q' физически неразличимы. Другими словами, достаточно рассматривать изменения q в любом интервале величины 2л/а. При этом все физические свойства нашего одномерного кристалла, зависящие от волнового числа, должны быть периодичны с периодом 2л/а. Мы выберем в качестве основного интервала изменения для q область
— л/a^q^ л/а. (2.6)
На рис. III.4 представлена зависимость со от q, которая в согласии с вышесказанным периодична с периодом 2л/а. В большинстве случаев достаточно ограничиться рассмотрением положительных значений q от О до qmax = :i/a> так как кривая для q < о симметрична. Максимальному значению q соответствует минимальное значение длины волны К. Из условия ^max = = 2л/Kmin = л/К следует ^rein = 2а. Представляется вполне наглядным, что в дискретной атомной цепочке не могут существовать волны с К/2, меньшей а. Волне с наименьшей Я = Xmin = 2а соответствует максимальная частота (ат (2.5а). Существование максимальная частоты также является характерной особенностью колебаний дискретных атомных структур.
3. Макроскопические образцы кристаллов состоят из очень большого", хотя и конечного числа атомов. Если число атомов G
Рис. III.4. §2] КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПРОСТОЙ ОДНОМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ J-Jg
в атомной цепочке очень велико1), а силы взаимодействия между атомами распространяются на расстояние одной или нескольких постоянных решетки, то условия, в которых находятся граничные атомы на «поверхности», не влияют на их движение внутри цепочки. В частности, если мы расположим G атомов по окружности очень большого радиуса, так, чтобы G-й и 1-й атомы тоже находились в равновесии на расстоянии а, то граничные условия могут быть заменены условиями цикличности Борна — Кармана, согласно которым
ип±а = ип, (2.7)
так как в этом случае атом номер п ± G совпадает с атомом номер п.
Из условий цикличности (2.7) и выражения (2.4) следует, что (±iqaCi) = \, т.е. qaG = 2ng, где g—целое число. Отсюда и из (2.6) следует:
Я ~ f. (2,8)
где
— G/2 < g < + G/2. (2.8а)
Таким образом, для конечной атомной цепочки с G степенями свободы волновое число q, меняющееся в интервале от — я/а до +я/а, принимает G дискретных значений, определяемых неравенством (2,8а). Конечно, мы всегда можем (и даже должны) выбрать G столь большим, чтобы изменение q в (2,8) можно было бы рассматривать как квазинепрерывное. Такая «счетность» q представляется весьма удобной для вопросов статистики и кинетики. При этом конечные формулы, сравнимые с опытом, не должны содержать произвольного числа G атомов основной области.
Так как со, согласно (2.5), функция q, a q меняется дискретно, то можно поставить вопрос о числе колебаний (с разными q) в интервале частот от со до co + do). Из уравнений (2.5) и (2.8)
следует, что d(u = a j/^- |cos"y" dq и dq = ^dg, откуда dw =
=jcos-y-j dg. Число колебаний dz на интервал частоты da» в обеих ветвях сo(q) от —я/a до +я/а равно
dz = 2dg = 4 /f^- (2.9)
к 1 c°s -у-
Как мы увидим ниже, удобно считать G большим нечетным числом, что, очевидно, несущественно. 124
КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ
[ГЛ. III
Из выражения (2.5) следует, что
COS
aq
-sin4
aq
Y
2 ~~ V * u 1 2 ~~ V 4?/m '
отсюда и из (2.9) получим для плотности числа колебаний на единичный интервал частоты:
-ft—gg у 1 . (2.10)
На рис. III.5 представлена зависимость (2.10). Как мы увидим ниже, для трехмерного кристалла в приближении непрерывного континуума
dz
-і— OO со2.
aw
4. Из теории упругости известно1), что скорость распространения звукового импульса в твердом стержне V0 = Y Е/р, где
