Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что полная энергия связи имеет минимальное значение при некотором значении а, которое, как показывает простой расчет, по порядку величины равно IO-8 см.
§ 2. Колебания и волны в простой одномерной (линейной) решетке
1. Атомы кристалла покоятся в узлах решетки только при абсолютном нуле температуры1). При повышении температуры атомы начинают колебаться около своих положений устойчивого равновесия, поэтому нам необходимо рассмотреть динамику движения атомов в кристалле.
Мы начнем изучение вопроса с рассмотрения простейшего случая колебания одинаковых атомов в одномерной (линейной)
п-1 л
-*-•-*-в-
ип-1 - ип
Рис. III.3.
решетке, подчиняющихся в своем движении законам классической механики. Как мы увидим впоследствии, почти все закономерности, полученные для такой схематической одномерной модели, оправдываются и для трехмерных решеток. Кроме того, выяснится, что при достаточно высоких температурах движение атомов в кристалле действительно подчиняется законам классической механики.
На рис. 111.3 изображена линейная цепочка из одинаковых атомов с массами т, отклоненных от равновесных узлов с номерами (п—1), п, (я+1)на величины Mn_j > 0, ыл > 0, ип+1 < 0. В одномерном случае будем учитывать взаимодействие только ближайших (соседних) атомов, что не отражается существенным образом на результатах. Отклонения ип и силы, действующие на атомы, считаются положительными, если их направления совпадают с направлением положительной оси и отрицательными— в противоположном случае.
/7+/
( + )
/7+/
Мы отвлекаемся здесь от наличия квантовых эффектов, на самом деле существенных при низких температурах.120 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
Как было показано в гл. III, § I, п. I, при малых отклонениях атомов от положений равновесия ()и„|<^а—здесь расстояние между узлами), силы взаимодействия можно рассматривать как квазиупругие, т. е. пропорциональные изменению расстояния между атомами. Таким образом, силы, действующие на п-й атом со стороны (п—1)-го и (п + 1 )-го атомов, равны: /„, = ==— ^(Un-Un-J и /п,д+1= —?(«„—un+1), где ?> О—коэффициент квазиупругой силы. Результирующая сила, действующая на п-й атом, /„ = /„, „-і+ ?,,„+!= —? (2и„—«„„j—un+1). Уравнение движения (масса х ускорение = сила) п-го атома имеет вид
m"n + ? (2u„—Un^1—ип+1) = 0, (2.1)
где
Выражение для силы fn может быть получено и другим путем. Потенциальная энергия решетки Ф есть функция от отклонений атомов ип. Разлагая Ф в ряд по степеням малых отклонений ип, получим
®=®<»>+? Ш«.+ iss (sSy.«**+.- м
где индекс 0 указывает, что все ип положены равными нулю. Не ограничивая общности, полагаем потенциальную энергию основного состояния Ф (0) = 0. Так как значение Un = 0 соответствует равновесию системы, то =0. Для бесконечной
атомной цепочки коэффициенты ^difX ) = А^п—п' І)» т- е-
зависят только от расстояния между п-м и п'-м узлами. По определению сила
f" = -Ic= л И !)"'»• (2-3>
п'
Если все u„< = Const = M0, то сила fn = 0=—и0УА(|я—п' I),
ПГ
где п' пробегает все значения. Если учитывать только ближайших к атому п соседей, то п' = п, n + 1, п—1, и мы получим A (0) + A(I) + A (-1) = 0. Легко видеть, что (2.3) дает то же выражение для силы /п, что и (2.1), если положить A(I) = = -VaA(Q)=?.
2. На первый взгляд решение бесконечной системы «зацепляющихся» уравнений (2.1), в которых неизвестная функция un(/) связана с «соседними» неизвестными функциями «„_!(/) и un+1(t), представляет большие трудности. Поэтому удивительно, посредством какого элементарного приема может быть решена§2]
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПРОСТОЙ ОДНОМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ J-Jg
система (2.1). Бесконечная атомная цепочка с квазиупруго взаимодействующими атомами напоминает натянутую струну. Известно, что для бесконечной струны существует простой тип движения в виде бегущей монохроматической волны, для которой отклонение и струны от положения равновесия в точках х в момент t
будет: и(х, ^) = Л sin 2л; (j—vt )• гДе Л —амплитуда, к—длина
волны и V—частота. Вводя циклическую частоту to=Snv и волновое число q = 2лД, получим и(х, t) = A sin (qx—(at). Если мы условимся рассматривать не только положительные, но и отрицательные значения q, то наряду с волной, распространяющейся вдоль положительной оси X (<7 > 0), получим волны, бегущие в противоположном направлении (<?<0). Наконец, если мы учтем, что уравнение колебания струны линейно1), так что сумма решений является также интегралом уравнения, то во многих случаях представляется математически более удобным пользоваться комплексной формой решения в виде и{х, t) = Л [cos {qx — — со?) + і sin (qx—(ut)\ = Aei^x-Stt)t где амплитуда Л может быть комплексным числом.
Как мы увидим ниже, бегущая волна в непрерывной струне обладает двумя особенностями, существенно отличающими ее от волн, распространяющихся в дискретных атомных цепочках. Во-первых, абсолютная величина волнового числа q может принимать все значения от 0 до оо, при этом каждому значению q соответствует определенная форма волны. Во-вто-рых, частота ю = о01 <71 также может изменяться от 0 до оо.