Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для выяснения природы этих сил будем рассматривать электроны атомов (ионов) как вырожденный ферми-газ при абсолютном нуле температуры. Простой расчет показывает (Приложение 4), что плотность кинетической энергии электронов (кине-
t -А Л З'/'Я'/Ф 8/
тическая энергия в расчете на 1 см3) равна ©* = —Jq^—п/3,
где п—концентрация электронов (в данной точке), 2яА—постоянная Планка и /л—масса электрона. Будем в нулевом приближении считать, что плотности электронов па и пь свободных атомов (ионов) а и Ь (рис. III.2) не меняются при взаимном проникновении электронных оболочек. Это предположение соответствует при квантовомеханических расчетах использованию невозмущенных волновых функций. В этом случае изменение плотности кинетической энергии в области наложения электронных оболочек (заштрихованная область на рис. 111.2) равно
пь^-пї-пї]. (1.4)
Легко видеть, что эффект наложения электронных оболочек атомов а и b связан с увеличением кинетической энергии электронов в системе, т. е. с возникновением сил отталкивания (тем больших, чем меньше расстояние между а и b). К ним следует добавить чисто кулоновские силы отталкивания между ядрами атомов а и Ь, возникающие при проникновении ядра одного атома в электронную оболочку другого. Более подробный анализ показывает, что учет обменных эффектов в рамках статистической теории приводит при взаимном проникновении электронных оболочек к появлению некоторых сил притяжения, не меняющих, однако, качественной картины, описанной выше.
Квантовомеханическая теория сил отталкивания атомов дает для потенциальной энергии выражение вида Аехр(—R/а), где А и а—положительные константы.
3. Для образования устойчивых кристаллов, наряду с силами отталкивания между атомами (ионами), должны существовать силы притяжения между ними. Обычно рассматриваются четыре основных типа связей в кристаллах: а) ионные или гетеропо-лярные, б) ковалентные или гомеаполярные, в) вая-дер-ваальеов-ские или дисперсионные и г) металлические.
Следует отметить, что в большинстве случаев связи в кристаллах носят смешанный характер, поэтому нередки утверждения, что связь, например, на столько-то процентов ковалентна, а на столько-то гетерополярна. Когда мы говорим о связи одного вида, это значит, что этот тип связи превалирует. § 1] ПРИРОДА СИЛ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ АТОМОВ B КРИСТАЛЛЕ ИЗ
В наиболее чистом виде гетерополярная связь осуществляется в ионных кристаллах, например щелочно-галоидных соединениях NaCl, KI, CsCl. При этом в первом приближении взаимодействие ионов рассматривается как взаимодействие точечных зарядов, помещенных в узлах решетки. Так как ионы первой координационной группы имеют всегда другой знак, чем центральный ион, то кулоновское взаимодействие всех ионов решетки приводит к некоторому результирующему притяжению, обеспечивающему стабильность решетки.
Ввиду медленности убывания кулоновских сил с расстоянием в количественной теории необходимо учитывать взаимодействие центрального иона и с более далекими ионами обоих знаков. В следующем приближении учитывается взаимная поляризация ионов.
В гл. 1,§2, п. 4 мы рассмотрели решетки некоторых ионных кристаллов. В них число положительных ионов равно числу отрицательных, поэтому как кристалл в целом, так и элементарная кристаллическая ячейка нейтральны. При приложении механического напряжения к- ионным кристаллам они ведут себя по-разному.
В некоторых кристаллах, называемых пьезоэлектриками, вектор поляризации Pi (і = х, у, г) линейно зависит от компонент тензора напряжения Okl1), т. е.
Здесь yikl—пьезоэлектрический тензор 3-го ранга (см. Приложение 2) (пьезоэлектрический модуль).
Как будет показано ниже, в кристаллах с центром инверсии (например, NaCl, CsBr) yiki = 0, поэтому в таких кристаллах пьезоэлектрический эффект равен нулю. Если к пьезоэлектрическому кристаллу приложить электрическое поле Ei, в нем возникает деформация, пропорциональная первой степени электрического поля, т. е. компоненты тензора деформации2)
Используя термодинамику, можно показать, что тензоры yikl в (1.5) и (1.5а) совпадают3). Деформация кристалла в электрическом поле (1.5а) получила название обратного пьезоэлектрического эффекта. Так как тензор деформации Ukl симметричен, то пьезоэлектрический тензор ут симметричен по индексам k и I,
1) Ландау Л. Д., Лифшнц Е. М./Теоретическая физика, т. 7.—Теория упругости, —M.: Наука, 1965, § 2.
*) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Там же § 1.
3) H а й Дж. Физические свойства кристаллов —M.: ИЛ, 1960, гл. X.
(1.5)
(1.5а) 114 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
т.е. Yiki = YiIk Из-за последнего условия максимальное число независимых компонент тензора yikl равно З3—32 = 27—9= 18.
Покажем, что для кристаллов с центром инверсии все компоненты тензора yikl равны нулю, т. е. такие кристаллы не-пьезоэлектрики.
Компоненты тензора yikl преобразуются как произведение прямоугольных координат XiXkX,. При преобразовании инверсии новые («штрихованные») координаты равны
X1= X1, Xi= X2, Xs = — X3, (1.6)
