Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
= Ъ (R)Im (R).
поэтому
«і = {!>(?) Xm (Я).
r
Отсюда по теореме об ортогональности характеров (6.26) следует, что
C1 = O, если 1фт, O1 = 1, если I = т.
Таким образом, если при разложении на неприводимые представления ГА и Г^X Г,- они содержат общие неприводимые представления, то матричный элемент M (10.1) отличен от нуля, в противоположном случае он равен нулю.
2. Рассмотрим в качестве примера правила отбора для дипольних переходов (в этом случае Q = радиусу-вектору = г = = {х, у, г}) в поле кубической симметрии О.
Как будет показано в гл. IV § 8, радиус-вектор г, т. е. координаты X, у и г преобразуются по неприводимому представлению Г15 или F1 группы О.
Пользуясь формулой (7.18), составим таблицу характеров (табл. 11.10) прямого произведения F1XTi, где Г,-—одно из неприводимых представлений группы О, соответствующее базисами функциям $10] ПРАВИЛА ОТБОРА 109
Таблица II.IO
FlXT; E 8 (C3; C32) ЗСі 6С2 6С4
FiXA1 3 0 —1 —1 1
F1XA2 3 0 —1 1 —1
F1XE 6 0 —2 0 0
FiXF1 9 0 I 1 ]
FiXF2 9 0 1 —1 —1
Разложим прямые произведения Z71Xl^1, A2, Е, F1, F2) на неприводимые представлення группы О; пользуясь формулой (6.34), получим
F1XA1 = F1, F1XA2 = F2, F1XE = F1-^-F2, F.xf^^ + f + Fj + f,, F.xF^A. + E + F. + F,. UU'°J
Пользуясь доказанными выше теоремами, мы видим, что матричные элементы M отличны от нуля, т. е. разрешены диполь-ные переходы между состояниями, соответствующими второму представлению в прямом произведении в левой части равенства, и состояниями, неприводимыми представлениями в правой части равенства. То есть разрешены переходы между состояниями
Fi*-* АЦ ^1, F2, A2, Е, F1, F2,
что непосредственно следует из двух последних равенств (10.5) (первые три равенства ничего нового не добавляют). В то же время запрещены переходы между F1^A2, F2^A1, A1^A2 и E^Aa. ГЛАВА III
КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
и
о
-%
§ 1. Природа сил взаимодействия атомов в кристалле
1. То обстоятельство, что в определенных условиях атомы могут образовывать устойчивые молекулы и кристаллы, свидетельствует о том, что между ними могут существовать силы притяжения, которые уравновешиваются на расстояниях порядка 10~8 см силами отталкивания. Почти во всех случаях представляется более удобным оперировать не с силами, а с потенциальной энергией взаимодействия атомов Il(R), которую мы предполагаем зависящей только от расстояния R между ядрами атомов. Kp и-R вые 1 и 2 на рис. 111.1 изображают возможные случаи взаимодействия двух атомов, один из которых поме-рис J11 1 щен в начале координат 0, а дру-
гой А может перемещаться вдоль оси R. Так как потенциальная энергия определяется с точностью до постоянного слагаемого, то всегда можно положить cU = O при R—еоо. Сила, действующая на атом А, равна F =
dll Jt —*
= —gradcU(R) =— -щ-^-у гДе /? = 0Л — радиус-вектор, прове-
dll
денный из 0 в А. Таким образом, в тех точках, где
UH
(F антипараллельно /?), имеют место силы притяжения, а в тех, dll
где -щ < 0 (F параллельно/?),—силы отталкивания. Из рис. 111.1
видно, что кривая 1 соответствует случаю, когда атомы на любом расстоянии R отталкиваются друг от друга. Кривая 2 соответствует более сложному случаю, когда при R~> R0 атомы притягиваются, а при R < R0 отталкиваются друг от друга, = 0
(dll \ R
-Jj^"J^ и система из § 1]
ПРИРОДА СИЛ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ АТОМОВ B КРИСТАЛЛЕ ИЗ
обоих атомов находится в состоянии устойчивого равновесия. В этом случае, как это непосредственно видно из формы кривой 2, =?>0. При малых отклонениях атома А от по-
\ J Ro
ложения равновесия
41 (R) = H (Ra) + (Ц )Ra(R-R,) + ^™)Ra(R-R0>• +
+I(S)*. (*-*.)'+-" м
с точностью до величин третьего порядка малости. Если, как это имеет место на самом деле, силы отталкивания вблизи точки R-R0 возрастают быстрее, чем убывают силы притяжения, то
() =—< 0. Обозначая % (R0) =—cIL0 и отклонение атома А \ J R0
от положения равновесия R—R0^x, получим
eU (х) + eU0 = 1Zfxt-1ZW. (1.2)
Сила, действующая на атом А при движении его вблизи положения равновесия вдоль оси R, равна
F = -IE = -Vx + ^- 0-3)
Заметим, что сила, рассматриваемая в приближении F = — ?x, называется квазиупругой. Можно думать, что по порядку величины ? да уR0.
2. Последовательная теория взаимодействия атомов (ионов) должна основываться на квантовомеханическом рассмотрении движения их электронов. Атомные ядра можно при этом считать неподвижными в силу их большой массы (адиабатическое приближение). Полная энергия электронов зависит при этом от положения ядер как от параметров. При изменении расстояния между атомами полная энергия электронов, наряду с кулонов-ским отталкиванием ядер, играет роль потенциальной энергии взаимодействия атомов. В некоторых случаях можно приближенно понять природу взаимодействия атомов на основании более элементарных соображений, связанных со статистическим рассмотрением их электронов.
Рассмотрим с этой точки зрения природу сил отталкивания между атомами (ионами). Если исключить тривиальный случай кулоновского взаимодействия между одноименными ионами, проявляющегося на больших расстояниях между ними, то отталкивание между атомами (ионами) на близких расстояниях возникает при взаимном проникновении их электронных оболочек. Это отталкивание связано в основном с увеличением кинетической энергии атомных электронов в силу принципа Паули. 112 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
