Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 40

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 217 >> Следующая


Г to) = Г ({R2 I Ct3 + а2} [R1Ia1+ ах}) =

= Г ([R2R11 RiO1 + ^a1 + а2 + а2}) = = Г(R2R1) ехр і [к (Rja1 + RiCi1 + а2 + а2)\,

(9.31)

где мы для произведения ^g1 воспользовались выражением (5.8). Заменяя здесь, согласно (9.29), Г(R2R1) на произведение Г(R2)T(R1) и выражая каждый из этих множителей посредством (9.28), 106 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il

получим

г = г (g2) Г (gl) exp i[k (R2Ci1 + R2(I1) - k К + а,)].

Используя для первых двух слагаемых показателя экспоненты преобразование (9.20), получим

Г (g2gl) = Г (g2) T(gl) exp [і (R2'k-k) К +a,)]. (9.32)

Если волновой вектор лежит внутри зоны Бриллюэна, то

R^k = k. (9.33)

В этом случае экспонента в (9.32) равна единице и, следовательно,

r(g2g1) = T(g2)T(g1), (9.34)

т. е. r(g), определяемое равенством (9.28), —неприводимое представление группы волнового вектора Gft.

Если вектор k кончается в некоторой точке поверхности зоны Бриллюэна, то для некоторых R21 эквивалентный ему волновой вектор

R^k = k + b, (9.35)

где Ь—вектор обратной решетки. Для симморфной пространственной группы Oc1 = Ot(^1)=O и экспонента в (9.32) тоже равна единице; в самом деле,

ei [(K2-1*-ft) a,J _ gifta, _ g2 то'X целое число __ J . (9.36)

таким образом, и в этом случае Г (g) (9.29) неприводимое представление группы волнового вектора Gft. Сложнее случай, когда конец вектора k расположен на границе зоны Бриллюэна, но пространственная группа не симморфна. Этот случай мы здесь рассматривать не будем (см. гл. IV, § 9).

§ 10. Правила отбора

Вероятность перехода системы из состояния с волновой функцией Mpia (a-я волновая (базисная) функция t'-го уровня энергии, Ff неприводимого представления) в состояние с волновой функцией ipfc? под действием возмущения Q пропорциональна квадрату модуля матричного элемента

(10.1)

где dx—произведение дифференциалов координат конфигурационного пространства системы.

Во многих случаях нам неизвестны волновые функции системы, так что мы не можем вычислить матричный элемент (10.1). Однако часто нам достаточно знать, равен ли матричный эле- ПРАВИЛА ОТБОРА

107

мент нулю или отличен от нуля. Покажем, как теория групп позволяет ответить на этот вопрос, т. е. позволяет сформулировать правила отбора.

Для простого случая оптического электрона в свободном атоме, когда возмущением является электрическое поле световой волны, такие правила отбора известны из квантовой механики. Для дипольных переходов изменение азимутального квантового числа I должно равняться ±1 (т. е. Д/ = ±1), а магнитного квантового числа ±1 или 0 (т. е. Am = ±1 или Am = О)1). Для рассмотрения более общего случая покажем, что

$фіа dx = 0, (10.2)

если неприводимое представление Ti не является единич-H ы м.

Подвергая подынтегральную функцию в (10.2) ортогональному преобразованию симметрии Pr, где R—элемент группы уравнения Шредингера, получим

J Vta dx = J P^ta dx = J 2 Г,- (Я)еЛе dx. (10.3)

?

Здесь первое равенство основано на том, что якобиан ортогонального преобразования x'=Rx равен единице, а второе — на (7.15).

Суммируя обе части (10.3) по всем элементам группы, получим

h J dx = 2 J dx ¦ Jj Ti (R)fsa, (10,4)

? r

где h — порядок группы.

Если Г,- не есть единичное представление, то

jr,(/?)?a=o.

Это следует из (6.19), если предположить, что представление / есть единичное, а і — нет. Таким образом, правая часть равенства (10.4) равна нулю, следовательно, (10.2) доказано.

Пусть отдельные множители (функции) подынтегрального выражения матричного элемента (10.1) преобразуются по неприводимым представлениям ГА, Tq и Г,- группы гамильтониана. Тогда произведение этих множителей есть базисная функция приводимого, в общем случае, представления прямого произведения ГАхГрХГ,- (см. § 7, п. 3). Если это прямое произведение не со* держит единичного представления, то его базисные функции

1J Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики.—5 изд.—M.: Hayv ка, 1976, § 90. 108 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il

не содержит базисной функции единичного представления, а тогда в соответствии с (10.2) матричный элемент (10.1) равен нулю.

Таким образом, для определения правил отбора достаточно определить, содержится ли в прямом произведении Г^хГрХГ,-единичное представление. При этом число единичных представлений, содержащихся в этом произведении, определяет число линейно независимых матричных элементов. Этот рецепт может быть упрощен на основании следующей теоремы.

Прямое произведение двух различных неприводимых представлений ГгхГи не содержит единичного представления, а прямое произведение двух одинаковых неприводимых представлений ГгхГг содержит единичное представление один раз. Приведем ее доказательство.

Для определения того, сколько раз единичное представление содержится в приводимом представлении, воспользуемся формулой (6.34); полагая в ней CLj = Ci1 и Х/(#)* = ! (характеры единичного представления для всех R равны единице), получим

r

Для прямого произведения представлений ГгхГга, согласно (7.18), характер
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed